मान लीजिए कि $A$ और $B$ ऑर्थोगोनल आव्यूह हैं और $\operatorname{det}(A) + \operatorname{det}(B) = 0$ है। तो

मान लीजिए $B$ और $C$ $n \times n$ आव्यूह (matrices) हैं, जहाँ $A=B+C$, $BC=CB$, और $C^2=0$ (जहाँ $0$ शून्य आव्यूह है)। तो, $B^{2020}[B+(2021)C]=$

किसी भी $3 \times 3$ आव्यूह $M$ के लिए,$|M|$ को $M$ का सारणिक मानें। $I$ को $3 \times 3$ तत्समक आव्यूह मानें। $E$ और $F$ दो $3 \times 3$ आव्यूह इस प्रकार हैं कि $(I-EF)$ व्युत्क्रमणीय है। यदि $G=(I-EF)^{-1}$ है,तो निम्नलिखित में से कौन सा कथन $TRUE$ है?
$(A) |FE|=|I-FE||FGE|$
$(B) |I-FE|(I+FGE)=I$
$(C) EFG=GEF$
$(D) (I-FE)(I-FGE)=I$

मान लीजिए $[A]_{3 \times 3}$ एक व्युत्क्रमणीय आव्यूह है ताकि $A^{-1}=\frac{1}{3}(A^2-5A+7I)$। तो $17A^8-85A^7+119A^6-51A^5-19A^4+95A^3-133A^2+58A+I=$

मान लीजिए $a, b$ और $c$ तीन वास्तविक संख्याएँ हैं जो $\begin{bmatrix} a & b & c \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 9 & 7 \\ 8 & 2 & 7 \\ 7 & 3 & 7 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}$ $(E)$ को संतुष्ट करती हैं।
$1.$ यदि बिंदु $P(a, b, c)$, $(E)$ के संदर्भ में, समतल $2x+y+z=1$ पर स्थित है, तो $7a+b+c$ का मान क्या है?
$(A) 0$ $(B) 12$ $(C) 7$ $(D) 6$
$2.$ मान लीजिए $\omega$, $x^3-1=0$ का एक हल है जहाँ $\operatorname{Im}(\omega)>0$ है। यदि $a=2$ है और $b$ तथा $c$, $(E)$ को संतुष्ट करते हैं, तो $\frac{3}{\omega^a}+\frac{1}{\omega^b}+\frac{3}{\omega^c}$ का मान क्या है?
$(A) -2$ $(B) 2$ $(C) 3$ $(D) -3$
$3.$ मान लीजिए $b=6$ है, और $a$ तथा $c$, $(E)$ को संतुष्ट करते हैं। यदि $\alpha$ और $\beta$ द्विघात समीकरण $ax^2+bx+c=0$ के मूल हैं, तो $\sum_{n=0}^{\infty} \left(\frac{1}{\alpha}+\frac{1}{\beta}\right)^n$ का मान क्या है?
$(A) 6$ $(B) 7$ $(C) \frac{6}{7}$ $(D) \infty$
प्रश्न $1, 2$ और $3$ के उत्तर दें।

मान लीजिए $A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 1 & \alpha \end{bmatrix}$ और $B = \begin{bmatrix} 3 & 3 \\ \beta & 2 \end{bmatrix}$ है। यदि $A^2 - 4A + I = O$ और $B^2 - 5B - 6I = O$ है, तो दो कथनों में से:
(S1): $[(B - A)(B + A)]^T = \begin{bmatrix} 13 & 15 \\ 7 & 10 \end{bmatrix}$
और
(S2): $\det(\text{adj}(A + B)) = -5$.