मान लीजिए A = begin{bmatrix} 1 & 2 1 & alpha | vedclass

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Question

(B) दिया गया है $A^2 - 4A + I = O$। कैली-हैमिल्टन प्रमेय के अनुसार, $A$ का अभिलक्षणिक समीकरण $\lambda^2 - 	ext{tr}(A)\lambda + \det(A) = 0$ है। यहाँ

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only (S2) is correct

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(B) दिया गया है $A^2 - 4A + I = O$। कैली-हैमिल्टन प्रमेय के अनुसार, $A$ का अभिलक्षणिक समीकरण $\lambda^2 - 	ext{tr}(A)\lambda + \det(A) = 0$ है। यहाँ $	ext{tr}(A) = 1 + \alpha$ और $\det(A) = \alpha - 2$ है। अतः, $\lambda^2 - (1 + \alpha)\lambda + (\alpha - 2) = 0$। $A^2 - 4A + I = O$ से तुलना करने पर, हमें $1 + \alpha = 4 \Rightarrow \alpha = 3$ प्राप्त होता है। अतः, $A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \ 1 & 3 \end{bmatrix}$। $B^2 - 5B - 6I = O$ के लिए, अभिलक्षणिक समीकरण $\lambda^2 - 	ext{tr}(B)\lambda + \det(B) = 0$ है। यहाँ $	ext{tr}(B) = 3 + 2 = 5$ और $\det(B) = 6 - 3\beta$ है। $B^2 - 5B - 6I = O$ से तुलना करने पर, $\det(B) = -6$ प्राप्त होता है। अतः, $6 - 3\beta = -6 \Rightarrow 3\beta = 12 \Rightarrow \beta = 4$। अतः, $B = \begin{bmatrix} 3 & 3 \ 4 & 2 \end{bmatrix}$। अब, $A + B = \begin{bmatrix} 4 & 5 \ 5 & 5 \end{bmatrix}$। $\det(A + B) = (4)(5) - (5)(5) = 20 - 25 = -5$। (S2) के लिए: $\det(	ext{adj}(A + B)) = (\det(A + B))^{2-1} = -5$। अतः, (S2) सही है। (S1) के लिए: $B - A = \begin{bmatrix} 2 & 1 \ 3 & -1 \end{bmatrix}$, $B + A = \begin{bmatrix} 4 & 5 \ 5 & 5 \end{bmatrix}$। $(B - A)(B + A) = \begin{bmatrix} 13 & 15 \ 7 & 10 \end{bmatrix}$। इसका परिवर्त आव्यूह $[(B - A)(B + A)]^T = \begin{bmatrix} 13 & 7 \ 15 & 10 \end{bmatrix}$ है। यह (S1) में दिए गए आव्यूह से मेल नहीं खाता है। अतः, (S1) गलत है।

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