यदि $p$ और $q$,$6x^2 + 10x + 1 = 0$ के मूल हैं,तो $[\tan^{-1} p + \tan^{-1} q]$ का मान ज्ञात कीजिए: {जहाँ $[x]$,$x$ से छोटा या उसके बराबर महत्तम पूर्णांक दर्शाता है}

माना $g(x) = f(x) + f(1-x)$ और $x \in (0, 1)$ के लिए $f''(x) > 0$ है। यदि $g$ अंतराल $(0, \alpha)$ में ह्रासमान (decreasing) है और अंतराल $(\alpha, 1)$ में वर्धमान (increasing) है,तो $\tan^{-1}(2\alpha) + \tan^{-1}\left(\frac{1}{\alpha}\right) + \tan^{-1}\left(\frac{\alpha+1}{\alpha}\right)$ का मान ज्ञात कीजिए:

यदि $-\frac{1}{\sqrt{3}} < x < \frac{1}{\sqrt{3}}$ के लिए $y = \tan^{-1}\left(\frac{3x - x^3}{1 - 3x^2}\right)$ है,तो $\frac{dx}{dy}$ ज्ञात कीजिए।

यदि $\alpha$ और $\beta$ (जहाँ $\alpha > \beta$) समीकरण $3\cos^{-1}\left(x^2 - 5x - \frac{11}{2}\right) = \pi$ के दो शून्यक हैं,तो $(\alpha^2 + \beta^3)$ का मान ज्ञात कीजिए।

माना $x = \frac{m}{n}$ ($m, n$ सह-अभाज्य प्राकृतिक संख्याएँ हैं) समीकरण $\cos(2 \sin^{-1} x) = \frac{1}{9}$ का एक हल है और माना $\alpha, \beta$ $(\alpha > \beta)$ समीकरण $mx^2 - nx - m + n = 0$ के मूल हैं। तब बिंदु $(\alpha, \beta)$ किस रेखा पर स्थित है?

यदि $\cot \left(\cos^{-1} x\right) = \sec \left(\tan^{-1} \left(\frac{a}{\sqrt{b^2-a^2}}\right)\right)$,जहाँ $b > a > 0$,तो $x =$