જો એક વર્તુળ ત્રિકોણ $ABC$ ની બાજુ $BC$ ને $P$ બિંદુએ સ્પર્શે છે અને લંબાવેલી બાજુઓ $AB$ અને $AC$ ને અનુક્રમે $Q$ અને $R$ બિંદુએ સ્પર્શે છે,તો સાબિત કરો કે $AQ = \frac{1}{2}(BC + CA + AB)$.

(N/A) આકૃતિમાં દર્શાવ્યા મુજબ,વર્તુળ ત્રિકોણ $ABC$ ની બાજુઓને $P$,$Q$ અને $R$ બિંદુએ સ્પર્શે છે.
પ્રમેય મુજબ,વર્તુળની બહારના બિંદુમાંથી દોરેલા સ્પર્શકોની લંબાઈ સમાન હોય છે.
તેથી,આપણી પાસે છે:
$BQ = BP$
$CP = CR$
$AQ = AR$
હવે,ત્રિકોણ $ABC$ ની પરિમિતિ ધ્યાનમાં લો:
$\text{પરિમિતિ} = AB + BC + AC$
$\text{પરિમિતિ} = AB + (BP + CP) + AC$
સ્પર્શકના પ્રમેય પરથી કિંમતો મૂકતા:
$\text{પરિમિતિ} = AB + BQ + CR + AC$
$\text{પરિમિતિ} = (AB + BQ) + (AC + CR)$
$\text{પરિમિતિ} = AQ + AR$
કારણ કે $AQ = AR$,આપણે લખી શકીએ:
$\text{પરિમિતિ} = AQ + AQ = 2AQ$
આમ,$2AQ = AB + BC + AC$
$AQ = \frac{1}{2}(AB + BC + AC)$