यदि दीर्घवृत्त frac{x^2}{4} + frac{y^2}{3} = | vedclass

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Question

(A) दीर्घवृत्त $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ के बिंदु $(x_1, y_1)$ पर अभिलंब का समीकरण $\frac{a^2 x}{x_1} - \frac{b^2 y}{y_1} = a^2 - b^2$ ह

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$3$

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(A) दीर्घवृत्त $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ के बिंदु $(x_1, y_1)$ पर अभिलंब का समीकरण $\frac{a^2 x}{x_1} - \frac{b^2 y}{y_1} = a^2 - b^2$ है। यहाँ $a^2 = 4$ और $b^2 = 3$ है,अतः अभिलंब $\frac{4x}{x_1} - \frac{3y}{y_1} = 1$ है। इस अभिलंब की ढाल $m = \frac{4y_1}{3x_1}$ है। यह रेखा अतिपरवलय $\frac{x^2}{4} - \frac{y^2}{3} = 1$ की स्पर्श रेखा है। रेखा $y = mx + c$ के $\frac{x^2}{A^2} - \frac{y^2}{B^2} = 1$ की स्पर्श रेखा होने की शर्त $c^2 = A^2 m^2 - B^2$ है। अभिलंब को $y = \frac{4y_1}{3x_1} x - \frac{y_1}{3}$ के रूप में लिखने पर,$m = \frac{4y_1}{3x_1}$ और $c = -\frac{y_1}{3}$ प्राप्त होता है। शर्त में मान रखने पर: $(-\frac{y_1}{3})^2 = 4(\frac{4y_1}{3x_1})^2 - 3$। चूंकि $(x_1, y_1)$ दीर्घवृत्त पर स्थित है,$\frac{x_1^2}{4} + \frac{y_1^2}{3} = 1$,इसलिए $x_1^2 = \frac{4(3 - y_1^2)}{3}$। यह मान रखने पर $m^2 = 3$ प्राप्त होता है।

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