यदि परवलय $y^2 = 4ax$ का अभिलंब उसके अक्ष के साथ $\phi$ कोण बनाता है,तो यह वक्र को पुनः किस कोण पर काटेगा?

यदि वक्र $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ $(a > b)$ और $x^2 - y^2 = c^2$ समकोण पर प्रतिच्छेद करते हैं,तो:

आयताकार अतिपरवलय $xy = a^2$ की जीवा $PQ$,$x$-अक्ष को $A$ पर मिलती है। यदि $C(h, k)$ जीवा $PQ$ का मध्य-बिंदु है और $O$ मूल-बिंदु है,तो $\Delta ACO$ है:

मान लीजिए कि $T_1$ और $T_2$ दीर्घवृत्त $E: \frac{x^2}{6}+\frac{y^2}{3}=1$ और परवलय $P: y^2=12x$ की दो अलग-अलग उभयनिष्ठ स्पर्श रेखाएँ हैं। मान लीजिए कि स्पर्श रेखा $T_1$,$P$ और $E$ को क्रमशः $A_1$ और $A_2$ बिंदुओं पर स्पर्श करती है और स्पर्श रेखा $T_2$,$P$ और $E$ को क्रमशः $A_4$ और $A_3$ बिंदुओं पर स्पर्श करती है। तो निम्नलिखित में से कौन सा कथन सत्य है?
$(A)$ चतुर्भुज $A_1 A_2 A_3 A_4$ का क्षेत्रफल $35$ वर्ग इकाई है।
$(B)$ चतुर्भुज $A_1 A_2 A_3 A_4$ का क्षेत्रफल $36$ वर्ग इकाई है।
$(C)$ स्पर्श रेखाएँ $T_1$ और $T_2$,$x$-अक्ष पर $(-3,0)$ बिंदु पर मिलती हैं।
$(D)$ स्पर्श रेखाएँ $T_1$ और $T_2$,$x$-अक्ष पर $(-6,0)$ बिंदु पर मिलती हैं।

दीर्घवृत्त $\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{b^2}=1$ और अतिपरवलय $\frac{x^2}{144}-\frac{y^2}{81}=\frac{1}{25}$ की नाभियाँ संपाती हैं। तब $b^2$ का मान है

मान लीजिए $e_{1}$ और $e_{2}$ क्रमशः दीर्घवृत्त $\frac{x^{2}}{25}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$ $(b < 5)$ और अतिपरवलय $\frac{x^{2}}{16}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$ की उत्केंद्रताएँ हैं,जो $e_{1}e_{2}=1$ को संतुष्ट करती हैं। यदि $\alpha$ और $\beta$ क्रमशः दीर्घवृत्त की नाभियों के बीच की दूरी और अतिपरवलय की नाभियों के बीच की दूरी हैं,तो क्रमित युग्म $(\alpha, \beta)$ बराबर है