જો એક છેદિકા બે રેખાઓને એવી રીતે છેદે કે જેથી અનુકોણની એક જોડના દ્વિભાજકો સમાંતર હોય,તો સાબિત કરો કે તે બે રેખાઓ સમાંતર છે.

(N/A) આકૃતિમાં,એક છેદિકા $AD$ બે રેખાઓ $PQ$ અને $RS$ ને અનુક્રમે $B$ અને $C$ બિંદુઓમાં છેદે છે. કિરણ $BE$ એ $\angle ABQ$ નો દ્વિભાજક છે અને કિરણ $CG$ એ $\angle BCS$ નો દ્વિભાજક છે; અને $BE \parallel CG$ છે.
આપણે સાબિત કરવાનું છે કે $PQ \parallel RS$.
આપેલ છે કે કિરણ $BE$ એ $\angle ABQ$ નો દ્વિભાજક છે.
તેથી,$\angle ABE = \frac{1}{2} \angle ABQ$ ...... $(1)$
તે જ રીતે,કિરણ $CG$ એ $\angle BCS$ નો દ્વિભાજક છે.
તેથી,$\angle BCG = \frac{1}{2} \angle BCS$ ...... $(2)$
પરંતુ $BE \parallel CG$ અને $AD$ એ છેદિકા છે.
તેથી,$\angle ABE = \angle BCG$ (અનુકોણ પૂર્વધારણા) ...... $(3)$
$(1)$ અને $(2)$ ની કિંમત $(3)$ માં મુકતા,આપણને મળે છે
$\frac{1}{2} \angle ABQ = \frac{1}{2} \angle BCS$
એટલે કે,$\angle ABQ = \angle BCS$
પરંતુ,આ છેદિકા $AD$ દ્વારા $PQ$ અને $RS$ સાથે બનતા અનુકોણ છે; અને તે સમાન છે.
તેથી,$PQ \parallel RS$ (અનુકોણ પૂર્વધારણાનો પ્રતીપ).