यदि द्विघात समीकरण {x^2} - 2kx + {k^2} + k - | vedclass

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Question

(A) दिया गया द्विघात समीकरण $f(x) = x^2 - 2kx + k^2 + k - 5 = 0$ है।दोनों मूलों के $5$ से कम होने के लिए,तीन शर्तों का पालन होना चाहिए:$1$. विविक्तकर

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$( - \infty , 4)$

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(A) दिया गया द्विघात समीकरण $f(x) = x^2 - 2kx + k^2 + k - 5 = 0$ है।दोनों मूलों के $5$ से कम होने के लिए,तीन शर्तों का पालन होना चाहिए:$1$. विविक्तकर $D \ge 0$: $D = (-2k)^2 - 4(1)(k^2 + k - 5) = 4k^2 - 4k^2 - 4k + 20 = 20 - 4k$। अतः $20 - 4k \ge 0$,जिसका अर्थ है $k \le 5$।$2$. शीर्ष की स्थिति: शीर्ष का $x$-निर्देशांक $-b/(2a) = 2k/2 = k$ का मान $5$ से कम होना चाहिए,इसलिए $k $3$. $x = 5$ पर फलन का मान: परवलय ऊपर की ओर खुलता है,इसलिए $f(5) > 0$। अतः $5^2 - 2k(5) + k^2 + k - 5 > 0$,जिसे सरल करने पर $k^2 - 9k + 20 > 0$ प्राप्त होता है। गुणनखंड करने पर $(k - 4)(k - 5) > 0$ मिलता है,जिसका अर्थ है $k  5$।सभी शर्तों को संयोजित करने पर: $(k \le 5) \cap (k  5)$,हमें $k < 4$ प्राप्त होता है। अतः $k \in (- \infty, 4)$।

यदि द्विघात समीकरण ${x^2} - 2kx + {k^2} + k - 5 = 0$ के दोनों मूल $5$ से कम हैं,तो $k$ किस अंतराल में स्थित है?

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