यदि शून्येतर x के लिए,af(x) + bfleft( {frac{1 | vedclass

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Question

(B) दिया गया समीकरण: $af(x) + bf\left( {\frac{1}{x}} \right) = \frac{1}{x} - 5$ ... $(i)$$(i)$ में $x$ को $\frac{1}{x}$ से बदलने पर,हमें प्राप्त होता

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$\frac{1}{{({a^2} - {b^2})}}\left[ {a\log 2 - 5a + \frac{7}{2}b} \right]$

Vedclass · Answer

(B) दिया गया समीकरण: $af(x) + bf\left( {\frac{1}{x}} \right) = \frac{1}{x} - 5$ ... $(i)$$(i)$ में $x$ को $\frac{1}{x}$ से बदलने पर,हमें प्राप्त होता है: $af\left( {\frac{1}{x}} \right) + bf(x) = x - 5$ ... $(ii)$$f\left( {\frac{1}{x}} \right)$ को विलुप्त करने के लिए,$(i)$ को $a$ से और $(ii)$ को $b$ से गुणा करने पर:$a^2 f(x) + ab f\left( {\frac{1}{x}} \right) = \frac{a}{x} - 5a$$b^2 f(x) + ab f\left( {\frac{1}{x}} \right) = bx - 5b$पहले में से दूसरे समीकरण को घटाने पर: $(a^2 - b^2) f(x) = \frac{a}{x} - bx - 5a + 5b$दोनों पक्षों का $1$ से $2$ तक समाकलन करने पर:$(a^2 - b^2) \int_1^2 f(x) dx = \int_1^2 \left( \frac{a}{x} - bx - 5(a - b) \right) dx$$= \left[ a \log |x| - \frac{b x^2}{2} - 5(a - b)x \right]_1^2$$= \left( a \log 2 - \frac{b(4)}{2} - 5(a - b)(2) \right) - \left( a \log 1 - \frac{b(1)}{2} - 5(a - b)(1) \right)$$= a \log 2 - 2b - 10a + 10b - 0 + \frac{b}{2} + 5a - 5b$$= a \log 2 - 5a + \frac{7}{2}b$अतः,$\int_1^2 f(x) dx = \frac{1}{a^2 - b^2} \left[ a \log 2 - 5a + \frac{7}{2}b \right]$.

यदि शून्येतर $x$ के लिए,$af(x) + bf\left( {\frac{1}{x}} \right) = \frac{1}{x} - 5,$ जहाँ $a \ne b,$ है,तो $\int_1^2 {f(x)\,dx = } $

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किसी भी पूर्णांक $n$ के लिए, समाकलन $\int_0^\pi e^{\cos^2 x} \cos^3(2n+1)x \, dx$ का मान ज्ञात कीजिए।

$\int_0^{\frac{\pi}{4}} \frac{\cos ^2 x}{\cos ^2 x+4 \sin ^2 x} d x=$

$\int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{\cos ^3 x}{\sin x+\cos x} d x=$

यदि $I_n = \int_{-\pi}^{\pi} \frac{\sin(nx)}{(1+\pi^x) \sin x} dx$,$n=0, 1, 2, \ldots$,तो
$(A)$ $I_n = I_{n+2}$
$(B)$ $\sum_{m=1}^{10} I_{2m+1} = 10\pi$
$(C)$ $\sum_{m=1}^{10} I_{2m} = 0$
$(D)$ $I_n = I_{n+1}$

$\int\limits_{ - 1}^1 {\frac{{{x^3} + |x| + 1}}{{{x^2} + 2|x| + 1}}} dx = a \ln 2 + b$,तो:

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