यदि $1$ का एक घनमूल $\omega$ है, तो $\left|\begin{array}{ccc}1 & 1+\omega^2 & \omega^2 \\ 1-i & -1 & \omega^2-1 \\ -i & -1+\omega & -1\end{array}\right|=$

मान लीजिए $\omega$ एक सम्मिश्र संख्या $\cos \frac{2 \pi}{3} + i \sin \frac{2 \pi}{3}$ है। तो $\left|\begin{array}{ccc} z+1 & \omega & \omega^2 \\ \omega & z+\omega^2 & 1 \\ \omega^2 & 1 & z+\omega \end{array}\right| = 0$ को संतुष्ट करने वाली भिन्न सम्मिश्र संख्याओं $z$ की संख्या कितनी है?

समीकरण $\left| \begin{array}{ccc} (1+x)^2 & (1-x)^2 & -(2+x^2) \\ 2x+1 & 3x & 1-5x \\ x+1 & 2x & 2-3x \end{array} \right| + \left| \begin{array}{ccc} (1+x)^2 & 2x+1 & x+1 \\ (1-x)^2 & 3x & 2x \\ 1-2x & 3x-2 & 2x-3 \end{array} \right| = 0$

मान लीजिए $A = [a_{ij}]$,जहाँ $a_{ij} \in \mathbb{Z} \cap [0, 4]$ और $1 \leq i, j \leq 2$ है। ऐसे आव्यूहों $A$ की संख्या ज्ञात कीजिए जिनका योग एक अभाज्य संख्या $p \in (2, 13)$ है $........$.

यदि $\left( A - \frac{I}{2} \right)$ और $\left( A + \frac{I}{2} \right)$ दोनों लंबकोणीय आव्यूह (orthogonal matrices) हैं,तो:

यदि $A$,$B$,और $C$ क्रम $3$ के वर्ग आव्यूह हैं,जहाँ $A = \begin{bmatrix} x & 0 & 1 \\ 0 & y & 0 \\ 0 & 0 & z \end{bmatrix}$ और $|B| = 36$,$|C| = 4$,$(x, y, z \in \mathbb{N})$ तथा $|ABC| = 1152$ है,तो $x + y + z$ का न्यूनतम मान ज्ञात कीजिए।