જો $1$ ના ઘનમૂળ પૈકીનું એક $\omega$ હોય, તો $\left|\begin{array}{ccc}1 & 1+\omega^2 & \omega^2 \\ 1-i & -1 & \omega^2-1 \\ -i & -1+\omega & -1\end{array}\right|=$

જો $\left| \begin{array}{ccc} a & a^2 & 1 + a^3 \\ b & b^2 & 1 + b^3 \\ c & c^2 & 1 + c^3 \end{array} \right| = 0$ અને સદિશો $\vec{a} = (1, a, a^2)$,$\vec{b} = (1, b, b^2)$,અને $\vec{c} = (1, c, c^2)$ અસમતલીય હોય,તો $abc$ ની કિંમત શોધો.

જો $A = \begin{bmatrix} 2 & 2 & 1 \\ 1 & 3 & 1 \\ 1 & 2 & 2 \end{bmatrix}$ અને $\alpha, \beta, \gamma$ એ $|A - xI| = 0$ સમીકરણના બીજ હોય,તો $\alpha^2 + \beta^2 + \gamma^2 = $

શ્રેણિક $f(x) = \begin{bmatrix} \cos x & -\sin x & 0 \\ \sin x & \cos x & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$ ધ્યાનમાં લો. નીચે બે વિધાનો આપેલા છે:
વિધાન $I$: $f(-x)$ એ શ્રેણિક $f(x)$ નો વ્યસ્ત છે.
વિધાન $II$: $f(x) f(y) = f(x+y)$.
ઉપરોક્ત વિધાનોના પ્રકાશમાં,નીચે આપેલા વિકલ્પોમાંથી સાચો જવાબ પસંદ કરો:

જો $\{-1, 0, 1\}$ ગણના ઘટકો ધરાવતા તમામ $3 \times 3$ શૂન્યતર શ્રેણિકોના ગણમાંથી એક શ્રેણિક યાદચ્છિક રીતે પસંદ કરવામાં આવે, તો તે શ્રેણિક વિસંમિત (skew-symmetric) હોય તેની સંભાવના કેટલી?

ધારો કે $A$ એ $0$ અથવા $1$ ઘટકો ધરાવતા તમામ $3 \times 3$ નિશ્ચાયકોનો ગણ છે અને $B$ એ $A$ નો ઉપગણ છે જેમાં $1$ મૂલ્ય ધરાવતા તમામ નિશ્ચાયકોનો સમાવેશ થાય છે. જો $C$ એ $A$ નો ઉપગણ છે જેમાં $-1$ મૂલ્ય ધરાવતા તમામ નિશ્ચાયકોનો સમાવેશ થાય છે, તો: