જો ઉપગ્રહને પૃથ્વી તરફ ખસેડવામાં આવે,તો ઉપગ્રહનો આવર્તકાળ કેટલો થશે?

કલ્પના કરો કે એક હલકો ગ્રહ એક ખૂબ જ વિશાળ તારાની આસપાસ $R$ ત્રિજ્યાની વર્તુળાકાર કક્ષામાં $T$ આવર્તકાળ સાથે પરિભ્રમણ કરે છે. જો ગ્રહ અને તારા વચ્ચેનું ગુરુત્વાકર્ષણ આકર્ષણ બળ $R^{-5/2}$ ના પ્રમાણમાં હોય,તો ${T^2}$ કોના પ્રમાણમાં હશે?

ભૂસ્થિર ઉપગ્રહ (geostationary satellite):

બે ઉપગ્રહો $A$ અને $B$ પૃથ્વીની આસપાસ એક જ કક્ષામાં ફરે છે. $A$ નું દળ $B$ ના દળ કરતાં બમણું છે. કઈ ભૌતિક રાશિ બંને ઉપગ્રહો માટે સમાન હશે?

વિધાન $A$: પૃથ્વીની આસપાસ ભ્રમણ કરતા વિશાળ અવકાશયાનની અંદર રહેલા અવકાશયાત્રીને મર્યાદિત પરંતુ નાનું ગુરુત્વાકર્ષણ બળ અનુભવાશે.
કારણ $R$: અવકાશયાનને પૃથ્વીની આસપાસ ભ્રમણકક્ષામાં રાખવા માટે જરૂરી કેન્દ્રગામી બળ પૃથ્વી અને અવકાશયાન વચ્ચેના ગુરુત્વાકર્ષણ બળ દ્વારા પૂરું પાડવામાં આવે છે.

એક ઉપગ્રહ ગ્રહની સપાટીની નજીક વર્તુળાકાર કક્ષામાં પરિભ્રમણ કરી રહ્યો છે. ધારો કે $\rho$ એ સરેરાશ ઘનતા છે અને $R$ એ ગ્રહની ત્રિજ્યા છે; તો ઉપગ્રહનો આવર્તકાળ કેટલો હશે? $(G = \text{સાર્વત્રિક ગુરુત્વાકર્ષણ અચળાંક})$