यदि श्रेणी $\log _{9^{1 / 2}} x + \log _{9^{1 / 3}} x + \log _{9^{1 / 4}} x + \dots$ जहाँ $x > 0$ के प्रथम $21$ पदों का योग $504$ है,तो $x$ का मान ज्ञात कीजिए:

$1$ और $31$ के बीच $m$ संख्याएँ इस प्रकार डाली गई हैं कि परिणामी अनुक्रम एक $A.P.$ है और $7^{\text{वीं}}$ और $(m-1)^{\text{वीं}}$ डाली गई संख्याओं का अनुपात $5:9$ है। $m$ का मान ज्ञात कीजिए।

एक समांतर श्रेणी का $r$-वाँ पद $T_r$ है। इसका प्रथम पद $a$ और सार्व अंतर $d$ है। यदि कुछ धनात्मक पूर्णांकों $m, n, m \neq n,$ के लिए $T_m = 1/n$ और $T_n = 1/m$ है,तो $a - d = \dots\dots.$

यदि एक समांतर श्रेणी के $p$ वें,$q$ वें और $r$ वें पद क्रमशः $a, b$ और $c$ हैं,तो $[a(q - r) + b(r - p) + c(p - q)] = ?$

यदि $\log _{10} 2, \log _{10} (2^x - 1), \log _{10} (2^x + 3)$ $A.P.$ में हैं,तो :-

यदि समीकरण $x^3+3px^2+3qx-8=0$ के मूल समांतर श्रेणी में हैं,तो $2p^3-3pq=$