જો એક અચળ ન હોય તેવી $A.P.$ ના $2^{nd}, 5^{th},$ અને $9^{th}$ પદો $G.P.$ માં હોય,તો આ $G.P.$ નો સામાન્ય ગુણોત્તર શું છે?

$a, g, h$ એ બે ધન સંખ્યાઓ $x$ અને $y$ વચ્ચેના અનુક્રમે સમાંતર મધ્યક,સમગુણોત્તર મધ્યક અને હરાત્મક મધ્યક છે. તો નીચેનામાંથી સાચું વિધાન ઓળખો:

જો $x$ અને $y$ ના $A.M.$ અને $G.M.$ નો ગુણોત્તર $p : q$ હોય,તો $x : y$ શું થાય?

ધારો કે એક $G.P.$ ના પ્રથમ ત્રણ પદો $2, p$ અને $q$ છે,જ્યાં $q \neq 2$,જે અનુક્રમે એક $A.P.$ ના $7^{\text{th}}, 8^{\text{th}}$ અને $13^{\text{th}}$ પદો છે. જો $G.P.$ નું $5^{\text{th}}$ પદ એ $A.P.$ નું $n^{\text{th}}$ પદ હોય,તો $n$ ની કિંમત શોધો.

ધારો કે $i = 1, 2, \ldots, 101$ માટે $b_i > 1$ છે. ધારો કે $\log _e b_1, \log _e b_2, \ldots, \log _e b_{101}$ એ $\log _e 2$ સામાન્ય તફાવત સાથે સમાંતર શ્રેણી $(A.P.)$ માં છે. ધારો કે $a_1, a_2, \ldots, a_{101}$ એ સમાંતર શ્રેણીમાં છે જેથી $a_1 = b_1$ અને $a_{51} = b_{51}$ થાય. જો $t = b_1 + b_2 + \cdots + b_{51}$ અને $s = a_1 + a_2 + \cdots + a_{51}$ હોય,તો:

જો ત્રણ ભિન્ન સંખ્યાઓ $a, b, c$ એ $G.P.$ માં હોય અને સમીકરણો $ax^2 + 2bx + c = 0$ અને $dx^2 + 2ex + f = 0$ નું એક સામાન્ય બીજ હોય,તો નીચેનામાંથી કયું વિધાન સાચું છે?