यदि बिंदु $P$ से वृत्त $x^2+y^2-4x+2y+3=0$ पर खींची गई स्पर्श रेखाओं के बीच का कोण $\frac{\pi}{2}$ है,तो $P$ का बिंदुपथ क्या है?

मूल बिंदु $O$ से गुजरने वाला एक चर वृत्त खींचा गया है। यह $X$ और $Y$ अक्षों को क्रमशः $A$ और $B$ बिंदुओं पर काटता है,इस प्रकार कि $OA + 2OB = K$ (एक गैर-शून्य स्थिरांक) है। तो वृत्त हमेशा मूल बिंदु के अलावा एक निश्चित बिंदु $P$ से गुजरता है। बिंदु $P$ किस रेखा पर स्थित है?

$xy$-समतल में $(3, -2)$ से $4$ इकाई की दूरी पर स्थित बिंदु का बिंदुपथ है

मान लीजिए कि बिंदु $(p, p+1)$ क्षेत्र $E = \{(x, y) : 3-x \leq y \leq \sqrt{9-x^2}, 0 \leq x \leq 3\}$ के अंदर स्थित है। यदि $p$ के सभी मानों का समुच्चय अंतराल $(a, b)$ है,तो $b^2+b-a^2$ का मान $.................$ होगा।

एक बिंदु $P$ से वृत्त $x^{2}+y^{2}+4x-6y+9 \sin^{2} \alpha + 13 \cos^{2} \alpha = 0$ पर खींची गई स्पर्श रेखाओं के बीच का कोण $2 \alpha$ है। बिंदु $P$ के बिंदुपथ का समीकरण ज्ञात कीजिए।

यदि एक बिंदु $P$ इस प्रकार गति करता है कि $P$ से बिंदुओं $A(1, -1)$ और $B(-1, 1)$ तक की दूरियों का योग हमेशा $4$ रहता है,तो $P$ के बिंदुपथ का समीकरण क्या है?