જો એક સીધી રેખા દ્વારા કોઓર્ડિનેટ અક્ષો સાથે બનાવવામાં આવતા ખૂણા $\alpha, \frac{\pi}{2}-\alpha, \beta$ હોય,તો $\beta$ ની કિંમત શોધો.

આલ્કોહોલ આથવણ (fermentation) માં,

પ્રકાશનું એક કિરણ $5 ~cm$ જાડાઈ અને $1.6$ વક્રીભવનાંક ધરાવતી કાચની સ્લેબ પર લંબરૂપે આપાત થાય છે. કિરણને સ્ત્રોતથી સ્લેબની સપાટી સુધી પહોંચવા માટે લાગતો સમય,કાચની સ્લેબમાંથી પસાર થવા માટે લાગતા સમય જેટલો જ છે. સ્ત્રોતનું સપાટીથી અંતર કેટલું હશે ($~cm$ માં)?

$(a \cos \theta, a \sin \theta)$,$(b \sin \theta, -b \cos \theta)$ અને $(1, 0)$ શિરોબિંદુઓ ધરાવતા ત્રિકોણના મધ્યકેન્દ્રનો બિંદુપથ શોધો (જ્યાં $\theta$ એક પ્રાચલ છે).

જો વક્ર $2x^2 - 2xy + 3y^2 + 2x - y - 1 = 0$ અને રેખા $x + 2y = k$ ના છેદબિંદુઓને ઉગમબિંદુ સાથે જોડતી રેખાઓ પરસ્પર લંબ હોય,તો $k^2$ ની કિંમત શોધો.

એક રેડિયોએક્ટિવ પદાર્થ $1620 \, \text{વર્ષ}$ અને $810 \, \text{વર્ષ}$ ના અર્ધ-આયુષ્ય ધરાવતા બે કણોના એકસાથે ઉત્સર્જન દ્વારા ક્ષય પામે છે. કેટલા વર્ષ પછી પદાર્થનો ચોથો ભાગ બાકી રહેશે?