જો પ્રદેશ {(x, y): x^{2/3} + y^{2/3} leq 1, x | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(A) આ પ્રદેશ એસ્ટ્રોઇડ $x^{2/3} + y^{2/3} = 1$,રેખા $x + y = 0$,અને $x$-અક્ષ $(y=0)$ દ્વારા પ્રથમ અને દ્વિતીય ચરણમાં ઘેરાયેલો છે. આપેલ છે કે $y \geq 0

Vedclass · Accepted Answer

$36$

Vedclass · Answer

(A) આ પ્રદેશ એસ્ટ્રોઇડ $x^{2/3} + y^{2/3} = 1$,રેખા $x + y = 0$,અને $x$-અક્ષ $(y=0)$ દ્વારા પ્રથમ અને દ્વિતીય ચરણમાં ઘેરાયેલો છે. આપેલ છે કે $y \geq 0$ અને $x+y \geq 0$,તેથી પ્રદેશ પ્રથમ ચરણમાં અને દ્વિતીય ચરણના ભાગમાં આવેલો છે. ક્ષેત્રફળ $A = \int_{-1}^{0} (1 - (-x)^{2/3})^{3/2} dx + \int_{0}^{1} (1 - x^{2/3})^{3/2} dx$. સંમિતિને કારણે,$A = 2 \int_{0}^{1} (1 - x^{2/3})^{3/2} dx$. ધારો કે $x = \sin^3 	heta$,તો $dx = 3 \sin^2 	heta \cos 	heta d	heta$. $A = 2 \int_{0}^{\pi/2} (1 - \sin^2 	heta)^{3/2} \cdot 3 \sin^2 	heta \cos 	heta d	heta = 6 \int_{0}^{\pi/2} \cos^3 	heta \cdot \sin^2 	heta \cos 	heta d	heta = 6 \int_{0}^{\pi/2} \sin^2 	heta \cos^4 	heta d	heta$. વોલિસના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા: $\int_{0}^{\pi/2} \sin^m 	heta \cos^n 	heta d	heta = \frac{(m-1)!!(n-1)!!}{(m+n)!!} \cdot \frac{\pi}{2}$. $A = 6 \cdot \frac{(1) \cdot (3 \cdot 1)}{(6 \cdot 4 \cdot 2)} \cdot \frac{\pi}{2} = 6 \cdot \frac{3}{48} \cdot \frac{\pi}{2} = \frac{9\pi}{64}$. તેથી,$\frac{256A}{\pi} = \frac{256}{\pi} \cdot \frac{9\pi}{64} = 4 \cdot 9 = 36$.

જો પ્રદેશ $\{(x, y): x^{2/3} + y^{2/3} \leq 1, x + y \geq 0, y \geq 0\}$ નું ક્ષેત્રફળ $A$ હોય,તો $\frac{256A}{\pi}$ ની કિંમત શોધો.

Similar Questions

પરવલય $y^2=2x$ અને રેખા $y=4x-1$ વચ્ચે ઘેરાયેલા પ્રદેશનું ક્ષેત્રફળ (ચોરસ એકમમાં) કેટલું છે?

પરવલયો $y^2+8x=16$ અને $y^2-24x=48$ દ્વારા ઘેરાયેલા પ્રદેશનું ક્ષેત્રફળ શોધો.

જો પ્રદેશ $S=\{(x, y): 2y - y^2 \leq x^2 \leq 2y, x \geq y\}$ નું ક્ષેત્રફળ $\frac{n+2}{n+1} - \frac{\pi}{n-1}$ હોય,તો પ્રાકૃતિક સંખ્યા $n$ બરાબર $...............$ થાય.

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module