પરવલય y^2=2x અને રેખા y=4x-1 વચ્ચે ઘેરાયેલા પ | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(A) આપેલ પરવલયનું સમીકરણ $y^2=2x$ $\dots(i)$ અને રેખાનું સમીકરણ $y=4x-1$ $\dots(ii)$ છે.છેદબિંદુઓ શોધવા માટે, $(ii)$ માંથી $x = \frac{y+1}{4}$ ને $(i)

Vedclass · Accepted Answer

$\frac{9}{32}$

Vedclass · Answer

(A) આપેલ પરવલયનું સમીકરણ $y^2=2x$ $\dots(i)$ અને રેખાનું સમીકરણ $y=4x-1$ $\dots(ii)$ છે.છેદબિંદુઓ શોધવા માટે, $(ii)$ માંથી $x = \frac{y+1}{4}$ ને $(i)$ માં મૂકતા:$y^2 = 2\left(\frac{y+1}{4}\right) \implies y^2 = \frac{y+1}{2} \implies 2y^2 - y - 1 = 0$.દ્વિઘાત સમીકરણ ઉકેલતા: $(2y+1)(y-1) = 0$, તેથી $y = -\frac{1}{2}$ અને $y = 1$.અનુરૂપ $x$ કિંમતો $x = \frac{(-1/2)+1}{4} = \frac{1}{8}$ અને $x = \frac{1+1}{4} = \frac{1}{2}$ છે.છેદબિંદુઓ $(\frac{1}{8}, -\frac{1}{2})$ અને $(\frac{1}{2}, 1)$ છે.જરૂરી ક્ષેત્રફળ $y$ ની સાપેક્ષમાં સંકલન દ્વારા મળે છે:$Area = \int_{-1/2}^{1} (x_{line} - x_{parabola}) dy = \int_{-1/2}^{1} (\frac{y+1}{4} - \frac{y^2}{2}) dy$.$= \frac{1}{4} \int_{-1/2}^{1} (y+1) dy - \frac{1}{2} \int_{-1/2}^{1} y^2 dy$.$= \frac{1}{4} [\frac{y^2}{2} + y]_{-1/2}^{1} - \frac{1}{2} [\frac{y^3}{3}]_{-1/2}^{1}$.$= \frac{1}{4} [(\frac{1}{2} + 1) - (\frac{1}{8} - \frac{1}{2})] - \frac{1}{6} [1 - (-\frac{1}{8})]$.$= \frac{1}{4} [\frac{3}{2} + \frac{3}{8}] - \frac{1}{6} [\frac{9}{8}] = \frac{1}{4} [\frac{15}{8}] - \frac{3}{16} = \frac{15}{32} - \frac{6}{32} = \frac{9}{32}$ ચોરસ એકમ.

પરવલય $y^2=2x$ અને રેખા $y=4x-1$ વચ્ચે ઘેરાયેલા પ્રદેશનું ક્ષેત્રફળ (ચોરસ એકમમાં) કેટલું છે?

Similar Questions

વક્રો $x = -2y^2$ અને $x = 1 - 3y^2$ દ્વારા આવૃત પ્રદેશનું ક્ષેત્રફળ (ચોરસ એકમમાં) શોધો.

પરવલયો $y^2+8x=16$ અને $y^2-24x=48$ દ્વારા ઘેરાયેલા પ્રદેશનું ક્ષેત્રફળ શોધો.

વક્રો $x + 2y^2 = 0$ અને $x + 3y^2 = 1$ દ્વારા ઘેરાયેલા સમતલીય પ્રદેશનું ક્ષેત્રફળ કેટલું થાય?

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module