यदि रेखाओं $y=x+c$ और $2x^2+5xy+3y^2=0$ द्वारा निर्मित त्रिभुज का क्षेत्रफल $\frac{1}{20}$ वर्ग इकाई है,तो $c=$

मान लीजिए कि एक त्रिभुज के शीर्ष $(\alpha, \beta)$ से गुजरने वाली भुजाएँ रेखाओं $y^2-8xy-9x^2=0$ द्वारा समकोण पर समद्विभाजित होती हैं। तो,त्रिभुज का केंद्रक है

मान लीजिए $P$,$2x^2 - 5xy + 2y^2 + 6x - 3y = 0$ द्वारा निरूपित रेखाओं का युग्म है। निम्नलिखित स्वतंत्र कथनों पर विचार करें:
$(i)$ $\alpha$,रेखाओं के युग्म $P$ के प्रतिच्छेदन बिंदु का $x$-निर्देशांक है।
(ii) $\beta$,मूल बिंदु से गुजरने वाली $P$ की रेखाओं में से एक की ढाल है।
(iii) $\gamma$,$P$ के कोणीय द्विभाजकों के युग्म के समीकरण में अचर पद है।
तो,

यदि $Ax^2+2Hxy+By^2=0$ $(H^2>AB)$ द्वारा दी गई सरल रेखाओं का युग्म $ax+by+c=0$ रेखा के साथ एक समबाहु त्रिभुज बनाता है,तो $(A+3B)(3A+B)$ का मान क्या होगा?

मान लीजिए कि सरल रेखाओं के युग्म $2x^2 + axy + 3y^2 = 0$ और $2x^2 + bxy - 3y^2 = 0$ इस प्रकार हैं कि उनमें एक उभयनिष्ठ रेखा है और अन्य दो रेखाएँ परस्पर लंबवत हैं। तो $a$ और $b$ के मान क्रमशः क्या हैं?

$xy+4x-3y-12=0$ और $xy-3x+4y-12=0$ द्वारा दी गई सीधी रेखाओं के दो युग्मों द्वारा निर्मित वर्ग के विकर्णों का संयुक्त समीकरण क्या है?