यदि दो समरूप त्रिभुजों के क्षेत्रफल बराबर हों,तो सिद्ध कीजिए कि वे सर्वांगसम होते हैं।

(N/A) मान लीजिए कि दो समरूप त्रिभुज $\triangle ABC \sim \triangle PQR$ हैं।
समरूप त्रिभुजों के क्षेत्रफलों के प्रमेय के अनुसार:
$\frac{\text{ar}(\triangle ABC)}{\text{ar}(\triangle PQR)} = \left(\frac{AB}{PQ}\right)^2 = \left(\frac{BC}{QR}\right)^2 = \left(\frac{AC}{PR}\right)^2$ $...(1)$
दिया गया है कि,$\text{ar}(\triangle ABC) = \text{ar}(\triangle PQR)$.
इसलिए,$\frac{\text{ar}(\triangle ABC)}{\text{ar}(\triangle PQR)} = 1$.
इस मान को समीकरण $(1)$ में रखने पर,हमें प्राप्त होता है:
$1 = \left(\frac{AB}{PQ}\right)^2 = \left(\frac{BC}{QR}\right)^2 = \left(\frac{AC}{PR}\right)^2$.
इसका अर्थ है:
$\left(\frac{AB}{PQ}\right)^2 = 1 \Rightarrow AB^2 = PQ^2 \Rightarrow AB = PQ$
$\left(\frac{BC}{QR}\right)^2 = 1 \Rightarrow BC^2 = QR^2 \Rightarrow BC = QR$
$\left(\frac{AC}{PR}\right)^2 = 1 \Rightarrow AC^2 = PR^2 \Rightarrow AC = PR$
चूंकि तीनों संगत भुजाएँ बराबर हैं,इसलिए $SSS$ (भुजा-भुजा-भुजा) सर्वांगसमता कसौटी के अनुसार,$\triangle ABC \cong \triangle PQR$ सिद्ध होता है।