यदि एक वृत्त पर बिंदुओं $(1,2)$ और $(2,-1)$ को जोड़ने वाली जीवा उसकी परिधि पर किसी बिंदु पर $\frac{\pi}{4}$ का कोण बनाती है,तो ऐसे वृत्त का समीकरण क्या है?

किसी भी वास्तविक संख्या $\lambda \neq 1$ के लिए,$A(1, \lambda)$,$B(\lambda, 1)$ और $C(\lambda, \lambda)$ से गुजरने वाले वृत्त का केंद्र क्या है?

मान लीजिए कि वृत्त $x^2 + y^2 + x - 3y = 0$ पर बिंदु $(1, 2)$ से खींची गई दो जीवाएँ $y$-अक्ष द्वारा समद्विभाजित होती हैं। यदि इन जीवाओं के दूसरे सिरे $R$ और $S$ हैं, और रेखाखंड $RS$ का मध्यबिंदु $(\alpha, \beta)$ है, तो $6(\alpha + \beta)$ का मान ज्ञात कीजिए:

मान लीजिए $C: x^2+y^2=4$ और $C^{\prime}: x^2+y^2-4 \lambda x+9=0$ दो वृत्त हैं। यदि $\lambda$ के सभी मानों का समुच्चय ताकि वृत्त $C$ और $C^{\prime}$ दो अलग-अलग बिंदुओं पर प्रतिच्छेद करें,$\mathbb{R}-[a, b]$ है,तो बिंदु $(8a+12, 16b-20)$ किस वक्र पर स्थित है:

मान लीजिए कि एक जीवा $AB$ एक वृत्त $S$ के केंद्र $C(2,3)$ पर $60^{\circ}$ का कोण बनाती है। यदि $AB$ का समीकरण $x+y+1=0$ है,तो वृत्त $S$ का समीकरण क्या है?

माना $C$ वृत्त $x^{2}+y^{2}-x+2 y=\frac{11}{4}$ का केंद्र है और $P$ वृत्त पर एक बिंदु है। एक रेखा बिंदु $C$ से होकर गुजरती है,रेखा $CP$ के साथ $\frac{\pi}{4}$ का कोण बनाती है और वृत्त को बिंदुओं $Q$ और $R$ पर काटती है। तो त्रिभुज $PQR$ का क्षेत्रफल (इकाई$^{2}$ में) है।