यदि (1+x)^n के विस्तार में r^{text{th}},(r+1) | vedclass

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Question

(C) $(1+x)^n$ का सामान्य पद $T_{k+1} = {^nC_k} x^k$ है। $r^{	ext{th}}$ पद का गुणांक ${^nC_{r-1}}$ है। $(r+1)^{	ext{th}}$ पद का गुणांक ${^nC_r}$ है।

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$14$

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(C) $(1+x)^n$ का सामान्य पद $T_{k+1} = {^nC_k} x^k$ है। $r^{	ext{th}}$ पद का गुणांक ${^nC_{r-1}}$ है। $(r+1)^{	ext{th}}$ पद का गुणांक ${^nC_r}$ है। $(r+2)^{	ext{th}}$ पद का गुणांक ${^nC_{r+1}}$ है। दिया गया अनुपात ${^nC_{r-1}} : {^nC_r} : {^nC_{r+1}} = 4 : 15 : 42$ है। $\frac{{^nC_{r-1}}}{{^nC_r}} = \frac{4}{15}$ से,$\frac{r}{n-r+1} = \frac{4}{15} \Rightarrow 19r - 4n = 4$ $(i)$. $\frac{{^nC_r}}{{^nC_{r+1}}} = \frac{15}{42} = \frac{5}{14}$ से,$\frac{r+1}{n-r} = \frac{5}{14} \Rightarrow 19r - 5n = -14$ (ii). $(i)$ में से (ii) घटाने पर: $n = 18$. $n=18$ को $(i)$ में रखने पर: $r = 4$. अतः,$n - r = 18 - 4 = 14$.

यदि $(1+x)^n$ के विस्तार में $r^{\text{th}}$,$(r+1)^{\text{th}}$ और $(r+2)^{\text{th}}$ पदों के गुणांक $4:15:42$ के अनुपात में हैं,तो $n-r=$

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$x^2(1+x)^{98} + x^3(1+x)^{97} + x^4(1+x)^{96} + \ldots + x^{54}(1+x)^{46}$ में $x^{70}$ का गुणांक ${}^{99}C_p - {}^{46}C_q$ है। तो $p+q$ का एक संभावित मान है:

$(1 - x - x^2 + x^3)^6$ के विस्तार में $x^7$ का गुणांक है

यदि $\left(x^2-\frac{1}{2x}\right)^{20}$ के विस्तार में $m$-वाँ पद मध्य पद है,तो $T_{m+3}$ का गुणांक ज्ञात कीजिए।

यदि $(\sqrt{a}x^2 + \frac{1}{2x^3})^{10}$ के विस्तार में $x$ से स्वतंत्र पद $105$ है,तो $a^2$ का मान ज्ञात कीजिए:

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