यदि वक्र $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ और $\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{16}=1$ एक-दूसरे को लंबकोणीय (orthogonally) काटते हैं, तो $a^2-b^2$ का मान ज्ञात कीजिए।

बिंदु $(1, 3)$ से दीर्घवृत्त $2x^{2} + 3y^{2} = 5$ पर खींची गई स्पर्श रेखाओं के युग्म के बीच का न्यून कोण है:

दीर्घवृत्त $9x^2 + 5y^2 - 30y = 0$ की उत्केंद्रता .... है।

यदि दीर्घवृत्त $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$ (जहाँ $a > b$) के सहायक वृत्त का क्षेत्रफल दीर्घवृत्त के क्षेत्रफल का दोगुना है,तो दीर्घवृत्त की उत्केंद्रता क्या है?

कथन $-1$: यदि एक बिंदु से एक दीर्घवृत्त (ellipse) पर दो स्पर्श रेखाएँ खींची जाती हैं और यदि वे एक-दूसरे के लंबवत हैं,तो उस बिंदु का बिंदुपथ हमेशा एक वृत्त होता है।
कथन $-2$: दीर्घवृत्त $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ के लिए,उस बिंदु का बिंदुपथ जहाँ से दो लंबवत स्पर्श रेखाएँ खींची जाती हैं,$x^2 + y^2 = a^2 + b^2$ है।

एक बिंदु इस प्रकार गति करता है कि $(ae, 0)$ और $(-ae, 0)$ से उसकी दूरियों का योग $2a$ है,तो उसके बिंदुपथ का समीकरण क्या होगा,जहाँ $b^2 = a^2(1 - e^2)$ है?