कथन $-1$: यदि एक बिंदु से एक दीर्घवृत्त (ellipse) पर दो स्पर्श रेखाएँ खींची जाती हैं और यदि वे एक-दूसरे के लंबवत हैं,तो उस बिंदु का बिंदुपथ हमेशा एक वृत्त होता है।
कथन $-2$: दीर्घवृत्त $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ के लिए,उस बिंदु का बिंदुपथ जहाँ से दो लंबवत स्पर्श रेखाएँ खींची जाती हैं,$x^2 + y^2 = a^2 + b^2$ है।

दीर्घवृत्त $E_1: \frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{4}=1$ एक आयत $R$ के भीतर स्थित है,जिसकी भुजाएँ निर्देशांक अक्षों के समानांतर हैं। बिंदु $(0,4)$ से गुजरने वाला एक अन्य दीर्घवृत्त $E_2$ आयत $R$ के बाहर स्थित है। दीर्घवृत्त $E_2$ की उत्केंद्रता क्या है?

एक दीर्घवृत्त में,इसकी नाभियों के बीच की दूरी $6$ है और दीर्घ अक्ष की लंबाई $8$ है। इसकी उत्केंद्रता ज्ञात कीजिए।

मान लीजिए $P(x_1, y_1)$ और $Q(x_2, y_2)$ दीर्घवृत्त $\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{4}=1$ पर दो अलग-अलग बिंदु हैं,इस प्रकार कि $y_1 > 0$ और $y_2 > 0$ है। मान लीजिए $C$ वृत्त $x^2+y^2=9$ को दर्शाता है,और $M$ बिंदु $(3,0)$ है। मान लीजिए रेखा $x=x_1$,$C$ को $R$ पर काटती है,और रेखा $x=x_2$,$C$ को $S$ पर काटती है,इस प्रकार कि $R$ और $S$ के $y$-निर्देशांक धनात्मक हैं। मान लीजिए $\angle ROM = \frac{\pi}{6}$ और $\angle SOM = \frac{\pi}{3}$,जहाँ $O$ मूल बिंदु $(0,0)$ को दर्शाता है। मान लीजिए $|XY|$ रेखाखंड $XY$ की लंबाई को दर्शाता है। तो निम्नलिखित में से कौन सा कथन सत्य है (हैं)?
$(A)$ $P$ और $Q$ को जोड़ने वाली रेखा का समीकरण $2x+3y=3(1+\sqrt{3})$ है
$(B)$ $P$ और $Q$ को जोड़ने वाली रेखा का समीकरण $2x+y=3(1+\sqrt{3})$ है
$(C)$ यदि $N_2=(x_2, 0)$ है,तो $3|N_2Q|=2|N_2S|$
$(D)$ यदि $N_1=(x_1, 0)$ है,तो $9|N_1P|=4|N_1R|$

यदि बिंदु $(\lambda, 3)$ से दीर्घवृत्त $\frac{x^2}{9} + \frac{y^2}{4} = 1$ पर खींची गई स्पर्श रेखाएँ एक-दूसरे पर लंबवत हैं,तो $\lambda = ......$

यदि दीर्घवृत्त $3x^2 + 4y^2 = 12$ पर स्थित एक बिंदु $P$ पर अभिलंब,रेखा $2x + y = 4$ के समांतर है और $P$ पर स्पर्श रेखा $Q(4, 4)$ से होकर गुजरती है,तो $PQ$ का मान ज्ञात कीजिए।