यदि समतल ax - 2y + z = k और रेखाओं frac{x-1}{ | vedclass

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Question

(C) सबसे पहले, हम दी गई दो रेखाओं को समाहित करने वाले समतल का समीकरण ज्ञात करते हैं। रेखाएं $L_1: \frac{x-1}{2} = \frac{y-2}{3} = \frac{z-3}{4}$ और $L

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$6$

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(C) सबसे पहले, हम दी गई दो रेखाओं को समाहित करने वाले समतल का समीकरण ज्ञात करते हैं। रेखाएं $L_1: \frac{x-1}{2} = \frac{y-2}{3} = \frac{z-3}{4}$ और $L_2: \frac{x-2}{3} = \frac{y-3}{4} = \frac{z-4}{5}$ हैं।चूंकि रेखाएं एक ही समतल में हैं, समतल का समीकरण सारणिक द्वारा दिया जाता है:$\begin{vmatrix} x-1 & y-2 & z-3 \ 2 & 3 & 4 \ 3 & 4 & 5 \end{vmatrix} = 0$सारणिक का विस्तार करने पर:$(x-1)(15-16) - (y-2)(10-12) + (z-3)(8-9) = 0$$-(x-1) + 2(y-2) - (z-3) = 0$$-x + 1 + 2y - 4 - z + 3 = 0$$-x + 2y - z = 0$, जो $x - 2y + z = 0$ है।इसे दिए गए समतल $ax - 2y + z = k$ के साथ तुलना करने पर, हम पाते हैं कि $a = 1$ और समतल $x - 2y + z = k$ है।दो समानांतर समतलों $Ax + By + Cz = D_1$ और $Ax + By + Cz = D_2$ के बीच की दूरी $d = \frac{|D_1 - D_2|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}$ द्वारा दी जाती है।यहाँ, $D_1 = 0$, $D_2 = k$, $A = 1, B = -2, C = 1$.दिया गया है कि $d = \sqrt{6}$, इसलिए $\frac{|0 - k|}{\sqrt{1^2 + (-2)^2 + 1^2}} = \sqrt{6}$.$\frac{|k|}{\sqrt{1 + 4 + 1}} = \sqrt{6} \Rightarrow \frac{|k|}{\sqrt{6}} = \sqrt{6}$.$|k| = \sqrt{6} 	imes \sqrt{6} = 6$.

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यदि रेखा $\bar{r}=(\hat{\imath}-2 \hat{\jmath}+3 \hat{k})+\lambda(2 \hat{\imath}+\hat{\jmath}+2 \hat{k})$,समतल $\bar{r} \cdot (3 \hat{\imath}-2 \hat{\jmath}+m \hat{k})=10$ के समांतर है,तो $m$ का मान ज्ञात कीजिए।

$(1, 2, 3)$ से गुजरने वाली और $x - y + 2z = 5$ तथा $3x + y + z = 6$ समतलों के समांतर रेखा का समीकरण ज्ञात कीजिए।

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