मान लीजिए कि बिंदु $(a, b, c)$ का समतल $3x - 4y + 12z + 19 = 0$ के सापेक्ष प्रतिबिंब $(a - 6, \beta, \gamma)$ है। यदि $a + b + c = 5$ है,तो $7\beta - 9\gamma$ का मान ज्ञात कीजिए।

एक रेखा $l$ मूल बिंदु से गुजरती है और रेखाओं $l_1 = (3 + t)\hat{i} + (-1 + 2t)\hat{j} + (4 + 2t)\hat{k}$ तथा $l_2 = (3 + 2s)\hat{i} + (3 + 2s)\hat{j} + (2 + s)\hat{k}$ पर लंब है।
कथन $1$: रेखा $l$ और $l_2$ समतलीय रेखाएं हैं।
कथन $2$: रेखा $l$ और $l_2$ प्रतिच्छेदी रेखाएं हैं।

बिंदु $(7, 14, 5)$ से समतल $2x + 4y - z = 2$ पर डाले गए लंब की लंबाई और लंबपाद ज्ञात कीजिए।

$\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ असमतलीय सदिश हैं। यदि रेखा $\vec{r}=\vec{a}+2 \vec{b}+p(\vec{a}-2 \vec{c})$ और समतल $\vec{r}=3 \vec{a}-q(\vec{c}-\vec{b})+k(\vec{a}-\vec{b}+\vec{c})$ के प्रतिच्छेदन बिंदु का स्थिति सदिश $\vec{r}=x \vec{a}+y \vec{b}+z \vec{c}$ है, तो $x y z=$

यदि रेखाओं $\frac{x - 1}{\alpha} = \frac{y + 1}{-1} = \frac{z}{1}, (\alpha \ne -1)$ और $x + y + z + 1 = 0 = 2x - y + z + 3$ के बीच की न्यूनतम दूरी $\frac{1}{\sqrt{3}}$ है,तो $\alpha$ का मान है

माना रेखा $L$ बिंदु $(0,1,2)$ से होकर गुजरती है,रेखा $\frac{x-1}{2}=\frac{y-2}{3}=\frac{z-3}{4}$ को प्रतिच्छेद करती है और समतल $2x+y-3z=4$ के समांतर है। तब बिंदु $P(1,-9,2)$ की रेखा $L$ से दूरी है