एक रेखा $l$ मूल बिंदु से गुजरती है और रेखाओं $l_1 = (3 + t)\hat{i} + (-1 + 2t)\hat{j} + (4 + 2t)\hat{k}$ तथा $l_2 = (3 + 2s)\hat{i} + (3 + 2s)\hat{j} + (2 + s)\hat{k}$ पर लंब है।
कथन $1$: रेखा $l$ और $l_2$ समतलीय रेखाएं हैं।
कथन $2$: रेखा $l$ और $l_2$ प्रतिच्छेदी रेखाएं हैं।

यदि रेखाएँ $\overrightarrow{r} = (\hat{i} - \hat{j} + \hat{k}) + \lambda(3\hat{j} - \hat{k})$ और $\overrightarrow{r} = (\alpha\hat{i} - \hat{j}) + \mu(2\hat{i} - 3\hat{k})$ समतलीय हैं,तो इन दो रेखाओं को समाहित करने वाले समतल की बिंदु $(\alpha, 0, 0)$ से दूरी ज्ञात कीजिए।

बिंदु $(0, 7, -7)$ और रेखा $\frac{x + 1}{-3} = \frac{y - 3}{2} = \frac{z + 2}{1}$ को समाहित करने वाले समतल का समीकरण ज्ञात कीजिए।

बिंदु $(3, 2, 0)$ और रेखा $\frac{x - 3}{1} = \frac{y - 6}{5} = \frac{z - 4}{4}$ से गुजरने वाले समतल का समीकरण ज्ञात कीजिए।

मान लीजिए कि $P$ समतल $x-y+z=3$ के सापेक्ष बिंदु $(3,1,7)$ का प्रतिबिंब है। तो $P$ से गुजरने वाले और सरल रेखा $\frac{x}{1}=\frac{y}{2}=\frac{z}{1}$ को समाहित करने वाले समतल का समीकरण ज्ञात कीजिए।

मान लीजिए कि एक रेखा $L_1$ मूल बिंदु से होकर गुजरती है और रेखाओं $L_2: \vec{r} = (3+t)\hat{i} + (2t-1)\hat{j} + (2t+4)\hat{k}$ और $L_3: \vec{r} = (3+2s)\hat{i} + (3+2s)\hat{j} + (2+s)\hat{k}$ के लंबवत है, जहाँ $t, s \in R$ है। यदि $(a, b, c)$, जहाँ $a \in Z$, $L_3$ पर स्थित वह बिंदु है जो $L_1$ और $L_2$ के प्रतिच्छेदन बिंदु से $\sqrt{17}$ की दूरी पर है, तो $(a+b+c)^2$ का मान . . . . . . . है।