मान लीजिए कि P समतल x-y+z=3 के सापेक्ष बिंदु | vedclass

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Question

(C) समतल $x-y+z=3$ का अभिलंब सदिश $\vec{n} = (1, -1, 1)$ है।मान लीजिए $Q = (3, 1, 7)$ है। $Q$ से गुजरने वाली और समतल के लंबवत रेखा $\frac{x-3}{1} = \f

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$x-4y+7z=0$

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(C) समतल $x-y+z=3$ का अभिलंब सदिश $\vec{n} = (1, -1, 1)$ है।मान लीजिए $Q = (3, 1, 7)$ है। $Q$ से गुजरने वाली और समतल के लंबवत रेखा $\frac{x-3}{1} = \frac{y-1}{-1} = \frac{z-7}{1} = \lambda$ द्वारा दी जाती है।इस रेखा पर कोई भी बिंदु $(\lambda+3, -\lambda+1, \lambda+7)$ है।समतल के साथ प्रतिच्छेदन बिंदु $M$ के लिए,$(\lambda+3) - (-\lambda+1) + (\lambda+7) = 3$,जो सरल होकर $3\lambda + 9 = 3$ हो जाता है,इसलिए $3\lambda = -6$,जिससे $\lambda = -2$ प्राप्त होता है।अतः,$M = (-2+3, -(-2)+1, -2+7) = (1, 3, 5)$ है।चूंकि $M$,$PQ$ का मध्यबिंदु है,यदि $P = (a, b, c)$ है,तो $\frac{3+a}{2} = 1, \frac{1+b}{2} = 3, \frac{7+c}{2} = 5$ होगा।इससे $a = -1, b = 5, c = 3$ प्राप्त होता है,इसलिए $P = (-1, 5, 3)$ है।समतल $P(-1, 5, 3)$ से गुजरता है और रेखा $\frac{x}{1} = \frac{y}{2} = \frac{z}{1}$ को समाहित करता है,जो मूल बिंदु $O(0, 0, 0)$ से गुजरती है और जिसका दिशा सदिश $\vec{v} = (1, 2, 1)$ है।वांछित समतल का अभिलंब $\vec{n'} = \vec{OP} 	imes \vec{v} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \ -1 & 5 & 3 \ 1 & 2 & 1 \end{vmatrix} = \hat{i}(5-6) - \hat{j}(-1-3) + \hat{k}(-2-5) = -\hat{i} + 4\hat{j} - 7\hat{k}$ है।समतल का समीकरण $-1(x-0) + 4(y-0) - 7(z-0) = 0$ है,जो $-x + 4y - 7z = 0$ या $x - 4y + 7z = 0$ है।

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