बिंदु $A(1, 2, 3)$ से गुजरने वाली प्रकाश की एक किरण समतल $x+y+z=12$ पर $B$ पर टकराती है और परावर्तन के बाद $C(3, 5, 9)$ से गुजरती है,तो $OB$ का मान ज्ञात कीजिए।

समतलों $x + y + z = 6$ और $2x + 3y + 4z + 5 = 0$ के प्रतिच्छेदन से गुजरने वाले और बिंदु $(1, 1, 1)$ से होकर जाने वाले समतल का समीकरण ज्ञात कीजिए।

धनात्मक दिक-कोसाइन वाली एक रेखा बिंदु $P(2,1,2)$ से होकर गुजरती है और निर्देशांक अक्षों के साथ समान कोण बनाती है। यह रेखा समतल $2x+y+z=9$ को बिंदु $Q$ पर मिलती है। रेखाखंड $PQ$ की लंबाई $\qquad$ इकाई है।

माना $\overrightarrow{a} = \hat{i} + 2\hat{j} + \hat{k}$ और $\overrightarrow{b} = 2\hat{i} + 7\hat{j} + 3\hat{k}$ है। माना $L_1: \overrightarrow{r} = (-\hat{i} + 2\hat{j} + \hat{k}) + \lambda \overrightarrow{a}, \lambda \in R$ और $L_2: \overrightarrow{r} = (\hat{j} + \hat{k}) + \mu \overrightarrow{b}, \mu \in R$ दो रेखाएँ हैं। यदि रेखा $L_3$,$L_1$ और $L_2$ के प्रतिच्छेदन बिंदु से होकर गुजरती है और $\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b}$ के समांतर है,तो $L_3$ किस बिंदु से होकर गुजरती है?

यदि रेखा $x = \frac{y - 1}{2} = \frac{z - 3}{\lambda}$ और समतल $x + 2y + 3z = 4$ के बीच का कोण $\cos^{-1}\left(\sqrt{\frac{5}{14}}\right)$ है,तो $\lambda = \dots$

समतल का समीकरण ज्ञात कीजिए जो रेखा $\frac{x}{2}=\frac{y}{3}=\frac{z}{4}$ को समाहित करता है और रेखाओं $\frac{x}{3}=\frac{y}{4}=\frac{z}{2}$ और $\frac{x}{4}=\frac{y}{2}=\frac{z}{3}$ को समाहित करने वाले समतल के लंबवत है: