समतल का समीकरण ज्ञात कीजिए जो रेखा $\frac{x}{2}=\frac{y}{3}=\frac{z}{4}$ को समाहित करता है और रेखाओं $\frac{x}{3}=\frac{y}{4}=\frac{z}{2}$ और $\frac{x}{4}=\frac{y}{2}=\frac{z}{3}$ को समाहित करने वाले समतल के लंबवत है:

$k$ का वह मान ज्ञात कीजिए जिसके लिए रेखा $\frac{x-4}{1}=\frac{y-2}{1}=\frac{z-k}{2}$ समतल $2x-4y+z=7$ में स्थित है:

एक समतल $ax+by+cz+1=0$, दो समतलों $2x-2y+z=0$ और $x-y+2z=4$ के लंबवत है और बिंदु $(1, -2, 1)$ से होकर गुजरता है। तो $a+b-c=$

यदि एक समतल $x+y+z-5=0$, $A(1,1,1)$ और $B(2,2,2)$ को जोड़ने वाली रेखा को $P$ पर प्रतिच्छेद करता है, तो $AP: PB=$

माना $S$ एक बिंदु $Q$ का समतल $\vec{r} = -(t+p) \hat{i} + \hat{j} + (1+p) \hat{k}$ के सापेक्ष प्रतिबिंब है,जहाँ $t, p$ वास्तविक प्राचल हैं और $\hat{i}, \hat{j}, \hat{k}$ तीन धनात्मक अक्षों के अनुदिश इकाई सदिश हैं। यदि $Q$ और $S$ के स्थिति सदिश क्रमशः $10 \hat{i} + 15 \hat{j} + 20 \hat{k}$ और $\alpha \hat{i} + \beta \hat{j} + \gamma \hat{k}$ हैं,तो निम्नलिखित में से कौन सा/से सत्य है/हैं?
$(A)$ $3(\alpha+\beta) = -101$
$(B)$ $3(\beta+\gamma) = -71$
$(C)$ $3(\gamma+\alpha) = -86$
$(D)$ $3(\alpha+\beta+\gamma) = -121$

मान लीजिए कि बिंदु $P(1, 1, 1)$ से गुजरने वाली एक रेखा $L$, रेखाओं $\frac{x-4}{4}=\frac{y-1}{1}=\frac{z-1}{1}$ और $\frac{x-17}{1}=\frac{y-71}{1}=\frac{z}{0}$ के लंबवत है। मान लीजिए कि रेखा $L$, $yz$-समतल को बिंदु $Q$ पर काटती है। $L$ के समानांतर और बिंदु $S(1, 0, -1)$ से गुजरने वाली एक अन्य रेखा $yz$-समतल को बिंदु $R$ पर काटती है। तब समांतर चतुर्भुज $PQRS$ के क्षेत्रफल का वर्ग . . . . . . के बराबर है।