रेखा frac{x}{2}=frac{y}{3}=frac{z}{4} को समाह | vedclass

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Question

(C) सबसे पहले,$\frac{x}{3}=\frac{y}{4}=\frac{z}{2}$ और $\frac{x}{4}=\frac{y}{2}=\frac{z}{3}$ रेखाओं को समाहित करने वाले समतल का समीकरण ज्ञात करें। इस

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$x-2y+z=0$

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(C) सबसे पहले,$\frac{x}{3}=\frac{y}{4}=\frac{z}{2}$ और $\frac{x}{4}=\frac{y}{2}=\frac{z}{3}$ रेखाओं को समाहित करने वाले समतल का समीकरण ज्ञात करें। इस समतल का अभिलंब सदिश $\vec{n_1}$,दिशा सदिशों $\vec{v_1} = (3, 4, 2)$ और $\vec{v_2} = (4, 2, 3)$ के क्रॉस प्रोडक्ट द्वारा प्राप्त होता है।$\vec{n_1} = \vec{v_1} 	imes \vec{v_2} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \ 3 & 4 & 2 \ 4 & 2 & 3 \end{vmatrix} = 8\hat{i} - \hat{j} - 10\hat{k}$.इस समतल का समीकरण $8x - y - 10z = 0$ है।माना अभीष्ट समतल का समीकरण $ax + by + cz = 0$ है। यह रेखा $\frac{x}{2}=\frac{y}{3}=\frac{z}{4}$ को समाहित करता है,इसलिए इसका अभिलंब सदिश $\vec{n_2} = (a, b, c)$,रेखा के दिशा सदिश $\vec{v_3} = (2, 3, 4)$ के लंबवत होना चाहिए। अतः,$2a + 3b + 4c = 0$.चूंकि अभीष्ट समतल,$8x - y - 10z = 0$ के लंबवत है,इसलिए उनके अभिलंब सदिश परस्पर लंबवत हैं: $(a, b, c) \cdot (8, -1, -10) = 0$,अर्थात $8a - b - 10c = 0$.इन दो समीकरणों को हल करने पर: $\vec{n_2} = (2, 3, 4) 	imes (8, -1, -10) = -26\hat{i} + 52\hat{j} - 26\hat{k}$.$-26$ से विभाजित करने पर,हमें अभिलंब सदिश $(1, -2, 1)$ प्राप्त होता है।अतः समतल का समीकरण $x - 2y + z = 0$ है।

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