माना रेखा L बिंदु (0,1,2) से होकर गुजरती है,र | vedclass

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Question

(D) माना रेखा $L$ बिंदु $A(0,1,2)$ से गुजरती है और रेखा $\frac{x-1}{2}=\frac{y-2}{3}=\frac{z-3}{4}$ को बिंदु $B(1+2\lambda, 2+3\lambda, 3+4\lambda)$ प

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$\sqrt{74}$

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(D) माना रेखा $L$ बिंदु $A(0,1,2)$ से गुजरती है और रेखा $\frac{x-1}{2}=\frac{y-2}{3}=\frac{z-3}{4}$ को बिंदु $B(1+2\lambda, 2+3\lambda, 3+4\lambda)$ पर प्रतिच्छेद करती है।रेखा $L$ का दिशा सदिश $\vec{v} = \vec{AB} = (1+2\lambda)\hat{i} + (1+3\lambda)\hat{j} + (1+4\lambda)\hat{k}$ है।चूंकि $L$ समतल $2x+y-3z=4$ के समांतर है,इसलिए अभिलंब सदिश $\vec{n} = 2\hat{i} + \hat{j} - 3\hat{k}$,$\vec{v}$ के लंबवत है।अतः,$\vec{v} \cdot \vec{n} = 0 \Rightarrow 2(1+2\lambda) + 1(1+3\lambda) - 3(1+4\lambda) = 0$.$2 + 4\lambda + 1 + 3\lambda - 3 - 12\lambda = 0 \Rightarrow -5\lambda = 0 \Rightarrow \lambda = 0$.अतः,बिंदु $B$ $(1, 2, 3)$ है और दिशा सदिश $\vec{v} = \hat{i} + \hat{j} + \hat{k}$ है।रेखा $L$ का समीकरण $\vec{r} = (0\hat{i} + 1\hat{j} + 2\hat{k}) + t(\hat{i} + \hat{j} + \hat{k})$ है।माना $Q$,$P(1,-9,2)$ का रेखा $L$ पर प्रक्षेप है। $Q = (t, 1+t, 2+t)$.$\vec{PQ} = (t-1)\hat{i} + (10+t)\hat{j} + t\hat{k}$.चूंकि $\vec{PQ} \perp \vec{v}$,$\vec{PQ} \cdot \vec{v} = 0 \Rightarrow (t-1) + (10+t) + t = 0 \Rightarrow 3t = -9 \Rightarrow t = -3$.$Q = (-3, -2, -1)$.दूरी $PQ = \sqrt{(-3-1)^2 + (-2 - (-9))^2 + (-1-2)^2} = \sqrt{(-4)^2 + 7^2 + (-3)^2} = \sqrt{16 + 49 + 9} = \sqrt{74}$.

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