यदि अतिपरवलयों $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ और $\frac{y^2}{b^2} - \frac{x^2}{a^2} = 1$ की उत्केंद्रताएँ क्रमशः $e$ और $e_1$ हैं,तो $\frac{1}{e^2} + \frac{1}{e_1^2} = $

यदि $\theta$ अतिपरवलय $7x^2 - 9y^2 = 63$ के अनंतस्पर्शी के बीच का न्यून कोण है,तो $\cos \theta =$

अतिपरवलय $2x^2 + 5xy + 2y^2 + 4x + 5y = 0$ के अनंतस्पर्शी का संयुक्त समीकरण क्या है?

यदि $P(\frac{\pi}{4})$ और $Q(\frac{3 \pi}{4})$ अतिपरवलय $4 x^2-y^2-8 x-2 y-13=0$ पर प्राचलिक रूप में दो बिंदु हैं,तो $P$ और $Q$ के बीच की दूरी क्या है?

अतिपरवलय $\frac{x^{2}}{\cos^{2} \alpha} - \frac{y^{2}}{\sin^{2} \alpha} = 1$ के लिए, जब $\alpha$ बदलता है तो निम्नलिखित में से क्या स्थिर रहता है?

मान लीजिए कि $PQ$ अतिपरवलय $\frac{x^2}{4} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ की एक जीवा है, जो $x$-अक्ष के लंबवत है, इस प्रकार कि $OPQ$ एक समबाहु त्रिभुज है, जहाँ $O$ अतिपरवलय का केंद्र है। यदि अतिपरवलय की उत्केंद्रता $\sqrt{3}$ है, तो त्रिभुज $OPQ$ का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए: