જો સમીકરણ cos^4 theta + sin^4 theta + lambda | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(D) આપેલ સમીકરણ $\cos^4 	heta + \sin^4 	heta + \lambda = 0$ છે. આપણે જાણીએ છીએ કે $\sin^4 	heta + \cos^4 	heta = (\sin^2 	heta + \cos^2 	heta)^2

Vedclass · Accepted Answer

$\left[-1, -\frac{1}{2}\right]$

Vedclass · Answer

(D) આપેલ સમીકરણ $\cos^4 	heta + \sin^4 	heta + \lambda = 0$ છે. આપણે જાણીએ છીએ કે $\sin^4 	heta + \cos^4 	heta = (\sin^2 	heta + \cos^2 	heta)^2 - 2 \sin^2 	heta \cos^2 	heta = 1 - 2 \sin^2 	heta \cos^2 	heta$. આ કિંમત સમીકરણમાં મૂકતા: $1 - 2 \sin^2 	heta \cos^2 	heta + \lambda = 0$. નિત્યસમ $\sin 2	heta = 2 \sin 	heta \cos 	heta$ નો ઉપયોગ કરતા,$\sin^2 	heta \cos^2 	heta = \frac{\sin^2 2	heta}{4}$. તેથી,$1 - 2 \left(\frac{\sin^2 2	heta}{4}ight) + \lambda = 0$,જેનું સાદું રૂપ $1 - \frac{\sin^2 2	heta}{2} + \lambda = 0$ થાય. આમ,$\lambda = \frac{\sin^2 2	heta}{2} - 1$. ચૂકી $0 \leq \sin^2 2	heta \leq 1$,તેથી $0 \leq \frac{\sin^2 2	heta}{2} \leq \frac{1}{2}$. બધા પદોમાંથી $1$ બાદ કરતા,$-1 \leq \frac{\sin^2 2	heta}{2} - 1 \leq -\frac{1}{2}$. તેથી,$\lambda \in \left[-1, -\frac{1}{2}ight]$.

જો સમીકરણ $\cos^4 \theta + \sin^4 \theta + \lambda = 0$ ને $\theta$ માટે વાસ્તવિક ઉકેલો હોય,તો $\lambda$ કયા અંતરાલમાં હશે?

Similar Questions

જો $0 < a < b$ અને $0 < x < \pi/2$ હોય,તો $a \sec x + b \csc x$ ની ન્યૂનતમ કિંમત કેટલી થાય?

જો $0 < \theta < \pi$ હોય,તો $3 \sin \theta + \text{cosec}^3 \theta$ ની ન્યૂનતમ કિંમત કેટલી થાય?

$3\sin \theta + 4\cos \theta $ ની ન્યૂનતમ કિંમત કેટલી છે?

પદાવલિ $E = \sin \theta + \cos \theta + \sin 2\theta$ ની મહત્તમ કિંમત શોધો.

ધારો કે $x, y, z$ વાસ્તવિક સંખ્યાઓ છે જેથી $x \geq y \geq z \geq \frac{\pi}{12}$. જો $x+y+z = \frac{\pi}{2}$ હોય,તો $\cos x \cdot \sin y \cdot \cos z$ ની ન્યૂનતમ કિંમત શોધો.

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module