यदि रेखा $x+2y+3z-4=0=2x+y-z+5$ को समाहित करने वाले और समतल $\vec{r}=(\hat{i}-\hat{j})+\lambda(\hat{i}+\hat{j}+\hat{k})+\mu(\hat{i}-2\hat{j}+3\hat{k})$ के लंबवत समतल का समीकरण $ax+by+cz=4$ है,तो $(a-b+c)$ का मान ज्ञात कीजिए।

बिंदुओं $(2, -4, 3)$ और $(-4, 5, -6)$ को जोड़ने वाले रेखाखंड को समतल $3x + 2y + z - 4 = 0$ किस अनुपात में विभाजित करता है?

समतलों $\vec{r} \cdot(2 \hat{i}+2 \hat{j}-3 \hat{k})=7$ और $\vec{r} \cdot(2 \hat{i}+5 \hat{j}+3 \hat{k})=9$ के प्रतिच्छेदन से गुजरने वाले और बिंदु $(2,1,3)$ से गुजरने वाले समतल का सदिश समीकरण ज्ञात कीजिए।

$L$ एक रेखा है जो बिंदु $A(1, 0, -3)$ से गुजरती है और $0, 1, -2$ दिक-अनुपात वाली रेखा के समानांतर है। $P$, रेखा $L$ पर स्थित एक बिंदु है जो समतल $2x + 3y + 5z = 1$ से न्यूनतम दूरी पर है। तब, $P$ से गुजरने वाले और $AP$ के लंबवत समतल का समीकरण है

माना $\overrightarrow{a} = \hat{i} + 2\hat{j} + \hat{k}$ और $\overrightarrow{b} = 2\hat{i} + 7\hat{j} + 3\hat{k}$ है। माना $L_1: \overrightarrow{r} = (-\hat{i} + 2\hat{j} + \hat{k}) + \lambda \overrightarrow{a}, \lambda \in R$ और $L_2: \overrightarrow{r} = (\hat{j} + \hat{k}) + \mu \overrightarrow{b}, \mu \in R$ दो रेखाएँ हैं। यदि रेखा $L_3$,$L_1$ और $L_2$ के प्रतिच्छेदन बिंदु से होकर गुजरती है और $\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b}$ के समांतर है,तो $L_3$ किस बिंदु से होकर गुजरती है?

यदि $L$ दो समतलों $x+2y+2z=15$ और $x-y+z=4$ की प्रतिच्छेदन रेखा है और रेखा $L$ के दिक्-अनुपात $(a, b, c)$ हैं, तो $\frac{a^2+b^2+c^2}{b^2}=$