यदि एक A.P.,G.P. और H.P. के प्रथम और (2n - 1) | vedclass

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Question

(D) माना $\alpha$ और $\beta$ क्रमशः $A.P.$,$G.P.$ और $H.P.$ के प्रथम और $(2n - 1)^{th}$ पद हैं।$A.P.$ के लिए: $n^{th}$ पद $a = \frac{\alpha + \beta}{2

Vedclass · Accepted Answer

$(a)$ और $(c)$ दोनों

Vedclass · Answer

(D) माना $\alpha$ और $\beta$ क्रमशः $A.P.$,$G.P.$ और $H.P.$ के प्रथम और $(2n - 1)^{th}$ पद हैं।$A.P.$ के लिए: $n^{th}$ पद $a = \frac{\alpha + \beta}{2}$ $(i)$$G.P.$ के लिए: $n^{th}$ पद $b = \sqrt{\alpha \beta}$ (ii)$H.P.$ के लिए: $n^{th}$ पद $c = \frac{2\alpha \beta}{\alpha + \beta}$ (iii)$(i)$,(ii) और (iii) से,हम देखते हैं कि $a, b, c$ क्रमशः $\alpha$ और $\beta$ के समांतर माध्य,गुणोत्तर माध्य और हरात्मक माध्य हैं।हम जानते हैं कि किन्हीं दो धनात्मक संख्याओं $\alpha$ और $\beta$ के लिए,$A.M. \ge G.M. \ge H.M.$अतः,$a \ge b \ge c$,जो विकल्प $(a)$ से मेल खाता है।साथ ही,$ac = \left(\frac{\alpha + \beta}{2}\right) \left(\frac{2\alpha \beta}{\alpha + \beta}\right) = \alpha \beta = b^2$.इसलिए,$ac - b^2 = 0$,जो विकल्प $(c)$ से मेल खाता है।अतः,$(a)$ और $(c)$ दोनों सही हैं।

यदि एक $A.P.$,$G.P.$ और $H.P.$ के प्रथम और $(2n - 1)^{th}$ पद समान हैं और उनके $n^{th}$ पद क्रमशः $a, b$ और $c$ हैं,तो:

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