यदि फलन f जो f(x) = x^3 - 3(a - 2)x^2 + 3ax + | vedclass

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Question

(C) दिया गया है $f(x) = x^3 - 3(a - 2)x^2 + 3ax + 7$.अवकलन करने पर,$f'(x) = 3x^2 - 6(a - 2)x + 3a$ प्राप्त होता है।चूँकि $f(x)$ अंतराल $(0, 1]$ में वर

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$7$

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(C) दिया गया है $f(x) = x^3 - 3(a - 2)x^2 + 3ax + 7$.अवकलन करने पर,$f'(x) = 3x^2 - 6(a - 2)x + 3a$ प्राप्त होता है।चूँकि $f(x)$ अंतराल $(0, 1]$ में वर्धमान और $[1, 5)$ में ह्रासमान है,इसलिए $x = 1$ पर स्थानीय उच्चिष्ठ (local maximum) होगा।अतः,$f'(1) = 0$.$f'(1) = 3(1)^2 - 6(a - 2)(1) + 3a = 3 - 6a + 12 + 3a = 15 - 3a = 0$.इसे हल करने पर $a = 5$ प्राप्त होता है।$a = 5$ को $f(x)$ में रखने पर,$f(x) = x^3 - 3(5 - 2)x^2 + 3(5)x + 7 = x^3 - 9x^2 + 15x + 7$ प्राप्त होता है।हमें $\frac{f(x) - 14}{(x - 1)^2} = 0$ को हल करना है,जिसका अर्थ है $f(x) - 14 = 0$ ($x 
eq 1$ के लिए)।$x^3 - 9x^2 + 15x + 7 - 14 = x^3 - 9x^2 + 15x - 7 = 0$.चूँकि $x = 1$,$f(x) - 14 = 0$ का एक मूल है,हम $(x - 1)^2$ से विभाजित कर सकते हैं:$x^3 - 9x^2 + 15x - 7 = (x - 1)^2(x - 7) = 0$.अतः,समीकरण $\frac{f(x) - 14}{(x - 1)^2} = 0$ का मूल $x = 7$ है।

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