यदि फलन f(x) = ax^3 - bx^2 - 8x - 4 अंतराल [1 | vedclass

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Question

(A) चरण $1$: चूँकि $f(x)$, $[1, 3]$ पर रोले प्रमेय को संतुष्ट करता है, इसलिए $f(1) = f(3)$ होना चाहिए।चरण $2$: $f(1) = a(1)^3 - b(1)^2 - 8(1) - 4 = a

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$2$

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(A) चरण $1$: चूँकि $f(x)$, $[1, 3]$ पर रोले प्रमेय को संतुष्ट करता है, इसलिए $f(1) = f(3)$ होना चाहिए।चरण $2$: $f(1) = a(1)^3 - b(1)^2 - 8(1) - 4 = a - b - 12$ की गणना करें।चरण $3$: $f(3) = a(3)^3 - b(3)^2 - 8(3) - 4 = 27a - 9b - 28$ की गणना करें।चरण $4$: $f(1) = f(3)$ को बराबर करने पर, हमें $a - b - 12 = 27a - 9b - 28$ प्राप्त होता है, जो $26a - 8b = 16$ या $13a - 4b = 8$ (समीकरण $1$) में सरल हो जाता है।चरण $5$: $f'(x) = 3ax^2 - 2bx - 8$ ज्ञात करें। दिया है $f'(2) = 0$, इसलिए $3a(2)^2 - 2b(2) - 8 = 0$, जो $12a - 4b = 8$ (समीकरण $2$) है।चरण $6$: समीकरण $1$ में से समीकरण $2$ को घटाने पर: $(13a - 4b) - (12a - 4b) = 8 - 8$, जिससे $a = 0$ प्राप्त होता है।चरण $7$: $a = 0$ को समीकरण $2$ में प्रतिस्थापित करने पर: $12(0) - 4b = 8$, इसलिए $-4b = 8$, जिससे $b = -2$ प्राप्त होता है।चरण $8$: अतः, $a - b = 0 - (-2) = 2$।

यदि फलन $f(x) = ax^3 - bx^2 - 8x - 4$ अंतराल $[1, 3]$ में रोले (Rolle's) प्रमेय को संतुष्ट करता है, और $f'(2) = 0$ है, तो $a - b$ का मान है:

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मान लीजिए $f: D \rightarrow R$ जहाँ $D=[0,1] \cup [2,4]$ है, $f(x)=\begin{cases} x, & \text{यदि } x \in [0,1] \\ 4-x, & \text{यदि } x \in [2,4] \end{cases}$ द्वारा परिभाषित है। तो,

यदि फलन $f(x) = x(x+3) e^{-\frac{x}{2}}$,$[-3, 0]$ में रोले के प्रमेय की सभी शर्तों को संतुष्ट करता है,तो $c$ का मान ज्ञात कीजिए।

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