यदि बिंदु $P(1, 2, a)$ का रेखा $\frac{x-6}{3}=\frac{y-7}{2}=\frac{7-z}{2}$ में प्रतिबिंब $Q(5, b, c)$ है, तो $a^{2}+b^{2}+c^{2}$ का मान ज्ञात कीजिए।

मूल बिंदु से होकर जाने वाली उन दो रेखाओं के समीकरण ज्ञात कीजिए जो रेखा $\frac{x-3}{2}=\frac{y-3}{1}=\frac{z}{1}$ को $\frac{\pi}{3}$ के कोण पर प्रतिच्छेद करती हैं।

बिंदुओं $A(3, 4, -7)$ और $B(1, -1, 6)$ से होकर गुजरने वाली रेखा के प्राचलिक समीकरण क्या हैं?

मान लीजिए $P(\alpha, \beta, \gamma)$ रेखा $\frac{x-1}{2} = \frac{y+1}{-3} = \frac{z}{1}$ पर स्थित एक बिंदु है जो बिंदु $(1, -1, 0)$ से $4\sqrt{14}$ की दूरी पर है और मूल बिंदु के निकट है। तो रेखाओं $\frac{x-\alpha}{1} = \frac{y-\beta}{2} = \frac{z-\gamma}{3}$ और $\frac{x+5}{2} = \frac{y-10}{1} = \frac{z-3}{1}$ के बीच की न्यूनतम दूरी क्या है?

बिंदुओं $(2,1,5)$,$(3,2,3)$ और $(4,0,4)$ द्वारा निर्मित त्रिभुज का लंबकेंद्र (orthocentre) ज्ञात कीजिए।

मान लीजिए $L_1$ और $L_2$ रेखाएँ $\overrightarrow{r} = \hat{i} + \lambda(-\hat{i} + 2\hat{j} + 2\hat{k}), \lambda \in R$ और $\overrightarrow{r} = \mu(2\hat{i} - \hat{j} + 2\hat{k}), \mu \in R$ को दर्शाती हैं। यदि $L_3$ एक ऐसी रेखा है जो $L_1$ और $L_2$ दोनों के लंबवत है और दोनों को काटती है,तो निम्नलिखित में से कौन सा विकल्प $L_3$ का वर्णन करता है?
$(1) \overrightarrow{r} = \frac{1}{3}(2\hat{i} + \hat{k}) + t(2\hat{i} + 2\hat{j} - \hat{k}), t \in R$
$(2) \overrightarrow{r} = \frac{2}{9}(2\hat{i} - \hat{j} + 2\hat{k}) + t(2\hat{i} + 2\hat{j} - \hat{k}), t \in R$
$(3) \overrightarrow{r} = t(2\hat{i} + 2\hat{j} - \hat{k}), t \in R$
$(4) \overrightarrow{r} = \frac{2}{9}(4\hat{i} + \hat{j} + \hat{k}) + t(2\hat{i} + 2\hat{j} - \hat{k}), t \in R$