मान लीजिए L_1 और L_2 रेखाएँ overrightarrow{r} | vedclass

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Question

(A) रेखाएँ $L_1: \overrightarrow{r} = (1, 0, 0) + \lambda(-1, 2, 2)$ और $L_2: \overrightarrow{r} = \mu(2, -1, 2)$ हैं।मान लीजिए $A$,$L_1$ पर एक बिंदु

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$1, 2, 4$

Vedclass · Answer

(A) रेखाएँ $L_1: \overrightarrow{r} = (1, 0, 0) + \lambda(-1, 2, 2)$ और $L_2: \overrightarrow{r} = \mu(2, -1, 2)$ हैं।मान लीजिए $A$,$L_1$ पर एक बिंदु है और $B$,$L_2$ पर एक बिंदु है। $A = (1-\lambda, 2\lambda, 2\lambda)$ और $B = (2\mu, -\mu, 2\mu)$।सदिश $\overrightarrow{AB} = (2\mu + \lambda - 1, -\mu - 2\lambda, 2\mu - 2\lambda)$ है।उभयनिष्ठ लंब की दिशा $\vec{v} = (-1, 2, 2) 	imes (2, -1, 2) = (6, 6, -6)$ है,जो $(2, 2, -1)$ के समानांतर है।चूंकि $AB$ न्यूनतम दूरी की रेखा है,इसलिए $\overrightarrow{AB}$ को $(2, 2, -1)$ के समानांतर होना चाहिए।अतः,$\frac{2\mu + \lambda - 1}{2} = \frac{-\mu - 2\lambda}{2} = \frac{2\mu - 2\lambda}{-1} = k$।इन समीकरणों को हल करने पर $\lambda = 1/9$ और $\mu = 2/9$ प्राप्त होता है।तब $A = (8/9, 2/9, 2/9)$ और $B = (4/9, -2/9, 4/9)$ है।रेखा $L_3$,$A$ और $B$ से होकर गुजरती है और इसकी दिशा $(2, 2, -1)$ है।$L_3$ का समीकरण: $\overrightarrow{r} = A + t(2, 2, -1) = (8/9, 2/9, 2/9) + t(2, 2, -1)$।विकल्प $(1)$,$AB$ के मध्य बिंदु $(2/3, 0, 1/3)$ से होकर गुजरता है। दिशा $(2, 2, -1)$ होने के कारण,यह $L_3$ को दर्शाता है।विकल्प $(2)$,$B$ से होकर गुजरता है,इसलिए यह $L_3$ को दर्शाता है।विकल्प $(4)$,बिंदु $A$ यानी $(8/9, 2/9, 2/9)$ से होकर गुजरता है,इसलिए यह $L_3$ को दर्शाता है।अतः,विकल्प $1, 2, 4$ सही हैं।

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