જો સંકલન 525 int_0^{frac{pi}{2}} sin 2 x cos^ | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(A) ધારો કે $I = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin 2x \cdot (\cos x)^{\frac{11}{2}} \left(1 + (\cos x)^{\frac{5}{2}}\right)^{\frac{1}{2}} dx$. $\sin 2x = 2

Vedclass · Accepted Answer

$176$

Vedclass · Answer

(A) ધારો કે $I = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin 2x \cdot (\cos x)^{\frac{11}{2}} \left(1 + (\cos x)^{\frac{5}{2}}\right)^{\frac{1}{2}} dx$. $\sin 2x = 2 \sin x \cos x$ નો ઉપયોગ કરતા,$I = 2 \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin x \cos x \cdot (\cos x)^{\frac{11}{2}} \left(1 + (\cos x)^{\frac{5}{2}}\right)^{\frac{1}{2}} dx = 2 \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin x (\cos x)^{\frac{13}{2}} \left(1 + (\cos x)^{\frac{5}{2}}\right)^{\frac{1}{2}} dx$. ધારો કે $\cos x = t^2$,તેથી $-\sin x dx = 2t dt$. જ્યારે $x=0, t=1$; જ્યારે $x=\frac{\pi}{2}, t=0$. $I = 2 \int_1^0 (t^2)^{\frac{13}{2}} (1 + (t^2)^{\frac{5}{2}})^{\frac{1}{2}} (-2t dt) = 4 \int_0^1 t^{13} (1 + t^5)^{\frac{1}{2}} t dt = 4 \int_0^1 t^{14} \sqrt{1+t^5} dt$. ધારો કે $1+t^5 = k^2$,તેથી $5t^4 dt = 2k dk$. જ્યારે $t=0, k=1$; જ્યારે $t=1, k=\sqrt{2}$. વળી $t^5 = k^2-1$,તેથી $t^{10} = (k^2-1)^2$. $I = 4 \int_1^{\sqrt{2}} (k^2-1)^2 \cdot k \cdot \frac{2k}{5} dk = \frac{8}{5} \int_1^{\sqrt{2}} (k^6 - 2k^4 + k^2) dk$. $I = \frac{8}{5} \left[ \frac{k^7}{7} - \frac{2k^5}{5} + \frac{k^3}{3} \right]_1^{\sqrt{2}} = \frac{8}{5} \left[ (\frac{8\sqrt{2}}{7} - \frac{8\sqrt{2}}{5} + \frac{2\sqrt{2}}{3}) - (\frac{1}{7} - \frac{2}{5} + \frac{1}{3}) \right]$. $I = \frac{8}{5} \left[ \frac{120\sqrt{2} - 168\sqrt{2} + 70\sqrt{2}}{105} - \frac{15 - 42 + 35}{105} \right] = \frac{8}{5} \left[ \frac{22\sqrt{2}}{105} - \frac{8}{105} \right] = \frac{176\sqrt{2} - 64}{525}$. આમ,$525 I = 176\sqrt{2} - 64$. $(n \sqrt{2}-64)$ સાથે સરખાવતા,આપણને $n = 176$ મળે છે.

જો સંકલન $525 \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin 2 x \cos^{\frac{11}{2}} x \left(1+\cos^{\frac{5}{2}} x\right)^{\frac{1}{2}} d x$ એ $(n \sqrt{2}-64)$ બરાબર હોય,તો $n$ ની કિંમત શોધો.

Similar Questions

અંતરાલ $\left[ \frac{5\pi}{4}, \frac{4\pi}{3} \right]$ પર વિધેય $F(x) = \int_{5\pi /4}^x {(3\sin u + 4\cos u)\,du} $ ની ન્યૂનતમ કિંમત શોધો.

જો $2 f(x)-3 f\left(\frac{1}{x}\right)=x$ હોય,તો $\int_1^e f(x) d x=$

$\int_0^3 \left(\sin \left(\frac{\pi}{3} x\right) - \cos \left(\frac{\pi}{3} x\right)\right) dx =$

સંકલનનું મૂલ્ય શોધો: $\int_0^\pi \left(\cos^2 \left(\frac{3\pi}{8} - \frac{x}{4}\right) - \cos^2 \left(\frac{11\pi}{8} + \frac{x}{4}\right)\right) dx$

સાબિત કરો કે $\int_{1}^{3} \frac{dx}{x^{2}(x+1)} = \frac{2}{3} + \log \frac{2}{3}$.

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module