यदि वह अंतराल जिसमें वास्तविक मान वाला फलन f( | vedclass

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Question

(A) फलन $f(x) = \log \left(\frac{1+x}{1-x}\right) - 2x - \frac{x^3}{1-x^2}$ का प्रांत $\frac{1+x}{1-x} > 0$ द्वारा निर्धारित होता है, जिसका अर्थ है $x

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$-1$

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(A) फलन $f(x) = \log \left(\frac{1+x}{1-x}\right) - 2x - \frac{x^3}{1-x^2}$ का प्रांत $\frac{1+x}{1-x} > 0$ द्वारा निर्धारित होता है, जिसका अर्थ है $x \in (-1, 1)$।सबसे पहले, हम $f(x)$ के व्यंजक को सरल करते हैं:$f(x) = \log(1+x) - \log(1-x) - 2x - \frac{x^3}{1-x^2}$।अब, हम अवकलज $f'(x)$ ज्ञात करते हैं:$f'(x) = \frac{1}{1+x} + \frac{1}{1-x} - 2 - \frac{d}{dx} \left( \frac{x^3}{1-x^2} \right)$।$f'(x) = \frac{(1-x) + (1+x)}{1-x^2} - 2 - \frac{3x^2(1-x^2) - x^3(-2x)}{(1-x^2)^2}$।$f'(x) = \frac{2}{1-x^2} - 2 - \frac{3x^2 - 3x^4 + 2x^4}{(1-x^2)^2}$।$f'(x) = \frac{2(1-x^2) - 2(1-x^2)^2 - (3x^2 - x^4)}{(1-x^2)^2}$।$f'(x) = \frac{2 - 2x^2 - 2(1 - 2x^2 + x^4) - 3x^2 + x^4}{(1-x^2)^2}$।$f'(x) = \frac{2 - 2x^2 - 2 + 4x^2 - 2x^4 - 3x^2 + x^4}{(1-x^2)^2} = \frac{-x^4 - x^2}{(1-x^2)^2} = -\frac{x^2(x^2+1)}{(1-x^2)^2}$।चूँकि सभी $x \in (-1, 1) \setminus \{0\}$ के लिए $x^2(x^2+1) > 0$ और $(1-x^2)^2 > 0$ है, इसलिए सभी $x \in (-1, 1)$ के लिए $f'(x) अतः, फलन पूरे अंतराल $(-1, 1)$ में ह्रासमान है।यहाँ, $a = -1$ और $b = 1$, इसलिए $\frac{a}{b} = \frac{-1}{1} = -1$।

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