यदि एक अतिपरवलय के एक नाभि से गुजरने वाले नाभ | vedclass

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Question

(C) माना अतिपरवलय का समीकरण $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ है। नाभियाँ $F_1(-ae, 0)$ और $F_2(ae, 0)$ हैं। $F_1$ से गुजरने वाले नाभिलंब के सिर

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$\sqrt{3}$

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(C) माना अतिपरवलय का समीकरण $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ है। नाभियाँ $F_1(-ae, 0)$ और $F_2(ae, 0)$ हैं। $F_1$ से गुजरने वाले नाभिलंब के सिरे $A(-ae, b^2/a)$ और $A'(-ae, -b^2/a)$ हैं।नाभिलंब द्वारा दूसरी नाभि $F_2$ पर बनाया गया कोण $60^{\circ}$ है।नाभि $F_2$,नाभिलंब के मध्य बिंदु $B(-ae, 0)$ और एक सिरे $A(-ae, b^2/a)$ द्वारा निर्मित समकोण त्रिभुज में,$F_2$ पर कोण $30^{\circ}$ है।$	riangle ABF_2$ में,$AB = \frac{b^2}{a}$ और $BF_2 = 2ae$ है।अतः,$	an 30^{\circ} = \frac{AB}{BF_2} = \frac{b^2}{2a^2e}$ है।$\frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{b^2}{2a^2e}$ और $b^2 = a^2(e^2 - 1)$ का उपयोग करने पर:$\frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{e^2 - 1}{2e}$ प्राप्त होता है।इससे $2e = \sqrt{3}(e^2 - 1)$,या $\sqrt{3}e^2 - 2e - \sqrt{3} = 0$ मिलता है।द्विघात समीकरण को हल करने पर: $e = \frac{2 \pm 4}{2\sqrt{3}}$।चूँकि $e > 1$,इसलिए $e = \sqrt{3}$ होगा।

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