यदि वृत्त $x^2+y^2-6x-8y+9=0$ की जीवा $2x+3y+k=0$ की लंबाई $2\sqrt{3}$ है,तो $k$ का एक मान ज्ञात कीजिए।

मान लीजिए कि बिंदु $B$,रेखा $8x-6y-23=0$ के सापेक्ष बिंदु $A(2,3)$ का प्रतिबिंब है। मान लीजिए $\Gamma_A$ और $\Gamma_B$ क्रमशः $A$ और $B$ केंद्रों वाले $2$ और $1$ त्रिज्या के वृत्त हैं। मान लीजिए $T$ वृत्तों $\Gamma_A$ और $\Gamma_B$ की एक उभयनिष्ठ स्पर्शरेखा है,इस प्रकार कि दोनों वृत्त $T$ के एक ही ओर स्थित हैं। यदि $C$,$T$ और $A$ तथा $B$ से गुजरने वाली रेखा का प्रतिच्छेदन बिंदु है,तो रेखाखंड $AC$ की लंबाई ज्ञात कीजिए।

$6$ लंबाई की भुजा वाले समबाहु त्रिभुज के भीतर एक वृत्त अंतर्निहित है। इस वृत्त के भीतर अंतर्निहित वर्ग का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

मान लीजिए $AB$ एक रेखाखंड है जिसका मध्य-बिंदु $C$ है और $D$,$AC$ का मध्य-बिंदु है। मान लीजिए $C_1$ व्यास $AB$ वाला वृत्त है और $C_2$ व्यास $AC$ वाला वृत्त है। मान लीजिए $E$,$C_1$ पर एक ऐसा बिंदु है कि $EC$,$AB$ पर लंब है। मान लीजिए $F$,$C_2$ पर एक ऐसा बिंदु है कि $DF$,$AB$ पर लंब है और $E$ तथा $F$,$AB$ के विपरीत पक्षों पर स्थित हैं। तो,$\sin \angle FEC$ का मान है

$x-$अक्ष को $(1,0)$ बिंदु पर स्पर्श करने वाले और $(2,3)$ बिंदु से होकर गुजरने वाले वृत्त के व्यास की लंबाई ज्ञात कीजिए:

मान लीजिए $A(1, 4)$ और $B(1, -5)$ दो बिंदु हैं। मान लीजिए $P$ वृत्त $(x-1)^{2} + (y-1)^{2} = 1$ पर एक ऐसा बिंदु है कि $(PA)^{2} + (PB)^{2}$ का मान अधिकतम है,तो बिंदु $P, A$ और $B$ किस पर स्थित हैं?