$6$ लंबाई की भुजा वाले समबाहु त्रिभुज के भीतर एक वृत्त अंतर्निहित है। इस वृत्त के भीतर अंतर्निहित वर्ग का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

$x-$अक्ष को $(1,0)$ बिंदु पर स्पर्श करने वाले और $(2,3)$ बिंदु से होकर गुजरने वाले वृत्त के व्यास की लंबाई ज्ञात कीजिए:

$a$ का मान ज्ञात कीजिए,ताकि बिंदु $(1, 6)$ की वृत्त $x^2 + y^2 + 4x - 6y - a = 0$ के सापेक्ष शक्ति $-16$ हो।

मान लीजिए कि वृत्त $C_1: (x-\alpha)^2 + (y-\beta)^2 = r_1^2$ और $C_2: (x-8)^2 + (y-\frac{15}{2})^2 = r_2^2$ एक-दूसरे को बिंदु $(6,6)$ पर बाह्य रूप से स्पर्श करते हैं। यदि बिंदु $(6,6)$,वृत्तों $C_1$ और $C_2$ के केंद्रों को जोड़ने वाले रेखाखंड को $2:1$ के अनुपात में आंतरिक रूप से विभाजित करता है,तो $(\alpha+\beta) + 4(r_1^2 + r_2^2)$ का मान ज्ञात कीजिए।

उस वृत्त का समीकरण ज्ञात कीजिए जिसकी त्रिज्या $3$ है और जो वृत्त $x^2+y^2-4x-6y-12=0$ को बिंदु $(-1,-1)$ पर आंतरिक रूप से स्पर्श करता है।

मान लीजिए कि वृत्त $x^2 + y^2 + x - 3y = 0$ पर बिंदु $(1, 2)$ से खींची गई दो जीवाएँ $y$-अक्ष द्वारा समद्विभाजित होती हैं। यदि इन जीवाओं के दूसरे सिरे $R$ और $S$ हैं, और रेखाखंड $RS$ का मध्यबिंदु $(\alpha, \beta)$ है, तो $6(\alpha + \beta)$ का मान ज्ञात कीजिए: