$x-$अक्ष को $(1,0)$ बिंदु पर स्पर्श करने वाले और $(2,3)$ बिंदु से होकर गुजरने वाले वृत्त के व्यास की लंबाई ज्ञात कीजिए:

यदि $A\left(\frac{\pi}{3}\right)$ और $B\left(\frac{\pi}{6}\right)$ केंद्र $(0,0)$ और त्रिज्या $12$ वाले वृत्त पर स्थित बिंदु हैं,जो प्राचलिक रूप में दर्शाए गए हैं,तो जीवा $AB$ की लंबाई ज्ञात कीजिए।

उस वृत्त का केंद्र क्या है जो बिंदु $(0,1)$ से होकर गुजरता है और $(2,4)$ पर वक्र $y=x^2$ को स्पर्श करता है?

दो वृत्त $x^2 + y^2 - 2x + 6y + 6 = 0$ और $x^2 + y^2 - 5x + 6y + 15 = 0$:

एक बिंदु $P$ वृत्त $x^{2}+y^{2}=169$ पर स्थित है। यदि $Q=(5, 12)$ और $R=(-12, 5)$ है, तो $\angle QPR$ का मान क्या है?

मान लीजिए $C_1$ तीसरे चतुर्थांश में $3$ त्रिज्या वाला वृत्त है,जो दोनों निर्देशांक अक्षों को स्पर्श करता है। मान लीजिए $C_2$ केंद्र $(1,3)$ वाला वृत्त है जो $C_1$ को बिंदु $(\alpha, \beta)$ पर बाह्य रूप से स्पर्श करता है। यदि $(\beta-\alpha)^2=\frac{m}{n}$ है,जहाँ $\operatorname{gcd}(m, n)=1$,तो $m + n$ का मान ज्ञात कीजिए: