यदि रेखा,frac{x-3}{2}=frac{y+2}{1}=frac{z+4}{ | vedclass

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Question

(D) चूंकि रेखा समतल में स्थित है,इसलिए रेखा का दिशा सदिश समतल के अभिलंब सदिश के लंबवत होता है। रेखा का दिशा सदिश $\vec{v} = 2\hat{i} + \hat{j} + 3\hat

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$\frac{122}{49}$

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(D) चूंकि रेखा समतल में स्थित है,इसलिए रेखा का दिशा सदिश समतल के अभिलंब सदिश के लंबवत होता है। रेखा का दिशा सदिश $\vec{v} = 2\hat{i} + \hat{j} + 3\hat{k}$ है और समतल का अभिलंब $\vec{n} = \ell\hat{i} + m\hat{j} - \hat{k}$ है।अतः,$\vec{v} \cdot \vec{n} = 0 \Rightarrow 2\ell + m - 3 = 0$,जिससे $2\ell + m = 3$ प्राप्त होता है (समीकरण $i$)।साथ ही,रेखा पर स्थित कोई भी बिंदु समतल पर होना चाहिए। बिंदु $(3, -2, -4)$ रेखा पर स्थित है,इसलिए यह समतल के समीकरण $\ell x + my - z = 9$ को संतुष्ट करेगा।बिंदु को प्रतिस्थापित करने पर: $3\ell - 2m - (-4) = 9 \Rightarrow 3\ell - 2m = 5$ (समीकरण $ii$)।समीकरणों को हल करने पर:समीकरण $(i)$ से,$m = 3 - 2\ell$। इसे $(ii)$ में रखने पर:$3\ell - 2(3 - 2\ell) = 5 \Rightarrow 3\ell - 6 + 4\ell = 5 \Rightarrow 7\ell = 11 \Rightarrow \ell = \frac{11}{7}$।तब $m = 3 - 2(\frac{11}{7}) = \frac{21 - 22}{7} = -\frac{1}{7}$।अंत में,$\ell^2 + m^2 = (\frac{11}{7})^2 + (-\frac{1}{7})^2 = \frac{121}{49} + \frac{1}{49} = \frac{122}{49}$।

यदि रेखा,$\frac{x-3}{2}=\frac{y+2}{1}=\frac{z+4}{3}$ समतल $\ell x+m y-z=9$ में स्थित है,तो $\ell^2+m^2$ का मान ज्ञात कीजिए।

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