यदि रेखाएं $\frac{x-1}{2}=\frac{y+2}{3}=\frac{z-1}{4}$ और $\frac{x-3}{1}=\frac{y-k}{2}=\frac{z}{1}$ प्रतिच्छेद करती हैं,तो $k$ का मान है

मान लीजिए $(\alpha, \beta, \gamma)$ बिंदु $(5, 4, 2)$ से रेखा $\vec{r} = (-\hat{i} + 3\hat{j} + \hat{k}) + \lambda(2\hat{i} + 3\hat{j} - \hat{k})$ पर खींचे गए लंब के पाद के निर्देशांक हैं। तब सदिश $\alpha\hat{i} + \beta\hat{j} + \gamma\hat{k}$ का सदिश $6\hat{i} + 2\hat{j} + 3\hat{k}$ पर प्रक्षेप की लंबाई ज्ञात कीजिए।

मान लीजिए कि एक $\triangle ABC$ में,भुजा $AC$ की लंबाई $6$ है,शीर्ष $B$ $(1,2,3)$ है और शीर्ष $A, C$ रेखा $\frac{x-6}{3}=\frac{y-7}{2}=\frac{z-7}{-2}$ पर स्थित हैं। तो $\triangle ABC$ का क्षेत्रफल (वर्ग इकाइयों में) है

यदि किसी $\alpha \in R$ के लिए,रेखाएं $L_1: \frac{x+1}{2}=\frac{y-2}{-1}=\frac{z-1}{1}$ और $L_2: \frac{x+2}{\alpha}=\frac{y+1}{5-\alpha}=\frac{z+1}{1}$ समतलीय हैं,तो रेखा $L_2$ किस बिंदु से होकर गुजरती है?

रॉकेट की गति के समीकरण हैं: $x = 2t, y = -4t, z = 4t$ जहाँ समय $t$ सेकंड में है और गतिमान बिंदु के निर्देशांक किलोमीटर में हैं। रॉकेट का पथ क्या है? $10$ सेकंड में रॉकेट शुरुआती बिंदु $O(0, 0, 0)$ से कितनी दूरी पर होगा?

यदि बिंदु $B(2, 1, -3)$ की बिंदु $A(4, -2, 2)$ से गुजरने वाली और सदिश $\vec{c} = -4\hat{i} - 6\hat{j} - 2\hat{k}$ के समांतर रेखा से दूरी $x$ है, तो $x^4 + x^2 + 541 =$