यदि एक समलंब चतुर्भुज की असमांतर भुजाएँ बराबर हैं,तो सिद्ध कीजिए कि वह चक्रीय है।
(N/A) मान लीजिए हमारे पास एक समलंब चतुर्भुज $ABCD$ है जिसमें $AB || CD$ और $AD = BC$ है।
आइए हम $BE || AD$ खींचें ताकि $ABED$ एक समांतर चतुर्भुज बन जाए।
चूँकि समांतर चतुर्भुज के सम्मुख कोण बराबर होते हैं,
$\angle BAD = \angle BED$ ..... $(1)$
और $AD = BE$ [समांतर चतुर्भुज की सम्मुख भुजाएँ] ...... $(2)$
परंतु $AD = BC$ [दिया है] ......... $(3)$
$(2)$ और $(3)$ से,हमें प्राप्त होता है
$BE = BC$
$\Rightarrow \angle BEC = \angle BCE$ [बराबर भुजाओं के सम्मुख कोण बराबर होते हैं]
अब,$\angle BED + \angle BEC = 180^{\circ}$ [रैखिक युग्म]
चूँकि $\angle BED = \angle BAD$ और $\angle BEC = \angle BCE$,इसलिए
$\angle BAD + \angle BCE = 180^{\circ}$
चतुर्भुज $ABCD$ में,$\angle BAD + \angle BCD = \angle BAD + (\angle BCE + \angle ECD)$। चूँकि $ABED$ एक समांतर चतुर्भुज है,$\angle ECD = \angle BAD$। अतः,सम्मुख कोणों का योग $180^{\circ}$ है।
इसलिए,$ABCD$ एक चक्रीय चतुर्भुज है।
आइए हम $BE || AD$ खींचें ताकि $ABED$ एक समांतर चतुर्भुज बन जाए।
चूँकि समांतर चतुर्भुज के सम्मुख कोण बराबर होते हैं,
$\angle BAD = \angle BED$ ..... $(1)$
और $AD = BE$ [समांतर चतुर्भुज की सम्मुख भुजाएँ] ...... $(2)$
परंतु $AD = BC$ [दिया है] ......... $(3)$
$(2)$ और $(3)$ से,हमें प्राप्त होता है
$BE = BC$
$\Rightarrow \angle BEC = \angle BCE$ [बराबर भुजाओं के सम्मुख कोण बराबर होते हैं]
अब,$\angle BED + \angle BEC = 180^{\circ}$ [रैखिक युग्म]
चूँकि $\angle BED = \angle BAD$ और $\angle BEC = \angle BCE$,इसलिए
$\angle BAD + \angle BCE = 180^{\circ}$
चतुर्भुज $ABCD$ में,$\angle BAD + \angle BCD = \angle BAD + (\angle BCE + \angle ECD)$। चूँकि $ABED$ एक समांतर चतुर्भुज है,$\angle ECD = \angle BAD$। अतः,सम्मुख कोणों का योग $180^{\circ}$ है।
इसलिए,$ABCD$ एक चक्रीय चतुर्भुज है।
Explore More
Similar Questions
आकृति में,$A, B, C$ और $D$ एक वृत्त पर चार बिंदु हैं। $AC$ और $BD$ एक बिंदु $E$ पर इस प्रकार प्रतिच्छेद करते हैं कि $\angle BEC = 130^{\circ}$ और $\angle ECD = 20^{\circ}$ है। $\angle BAC$ ज्ञात कीजिए। ($^{\circ}$ में)
Medium
View Solutionकिसी भी त्रिभुज $ABC$ में,यदि $\angle A$ का कोण समद्विभाजक और $BC$ का लंब समद्विभाजक प्रतिच्छेद करते हैं,तो सिद्ध कीजिए कि वे त्रिभुज $ABC$ के परिवृत्त पर प्रतिच्छेद करते हैं।
Difficult
View Solutionयदि एक रेखा दो संकेंद्रीय वृत्तों (एक ही केंद्र वाले वृत्त) को,जिनका केंद्र $O$ है,$A, B, C$ और $D$ पर प्रतिच्छेद करती है,तो सिद्ध कीजिए कि $AB = CD$ है।
Medium
View Solutionदो वृत्त दो बिंदुओं $B$ और $C$ पर प्रतिच्छेद करते हैं। $B$ से होकर दो रेखाखंड $ABD$ और $PBQ$ खींचे गए हैं जो वृत्तों को क्रमशः $A, D$ और $P, Q$ पर प्रतिच्छेद करते हैं (आकृति देखें)। सिद्ध कीजिए कि $\angle ACP = \angle QCD$ है।
Medium
View Solutionबताइए कि निम्नलिखित कथन सत्य हैं या असत्य। अपने उत्तर के लिए कारण दीजिए।
$(i)$ केंद्र को वृत्त पर किसी भी बिंदु से मिलाने वाला रेखाखंड वृत्त की त्रिज्या होती है।
$(ii)$ एक वृत्त में केवल सीमित संख्या में ही समान जीवाएँ हो सकती हैं।
$(iii)$ यदि एक वृत्त को तीन बराबर चापों में विभाजित किया जाए,तो प्रत्येक एक दीर्घ चाप है।
$(iv)$ वृत्त की एक जीवा,जिसकी लंबाई उसकी त्रिज्या से दोगुनी है,वृत्त का व्यास है।
$(v)$ त्रिज्यखंड,जीवा और उसके संगत चाप के बीच का क्षेत्र है।
$(vi)$ वृत्त एक समतल आकृति है।
$(i)$ केंद्र को वृत्त पर किसी भी बिंदु से मिलाने वाला रेखाखंड वृत्त की त्रिज्या होती है।
$(ii)$ एक वृत्त में केवल सीमित संख्या में ही समान जीवाएँ हो सकती हैं।
$(iii)$ यदि एक वृत्त को तीन बराबर चापों में विभाजित किया जाए,तो प्रत्येक एक दीर्घ चाप है।
$(iv)$ वृत्त की एक जीवा,जिसकी लंबाई उसकी त्रिज्या से दोगुनी है,वृत्त का व्यास है।
$(v)$ त्रिज्यखंड,जीवा और उसके संगत चाप के बीच का क्षेत्र है।
$(vi)$ वृत्त एक समतल आकृति है।
Easy
View SolutionVedclass Products
For Students
Vedclass Test Series
Mock tests in real JEE/NEET style with performance analysis. 5-day free trial.
Start Free TrialFor Teachers
Exam Paper Generator
Generate Set A/B/C/D exam papers from 7.5L+ questions in 2 minutes. 3 chapters free.
Try FreeFor Institutes
Online Exam Module
Live online exams with unlimited students, 360° analytics & white-label branding.
See Demo