यदि बिंदु (x_1, y_1), (x_2, y_2) और (x_3, y_3 | vedclass

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Question

(A) माना आव्यूह $A = \begin{bmatrix} x_1 & y_1 & 1 \ x_2 & y_2 & 1 \ x_3 & y_3 & 1 \end{bmatrix}$ है।यदि बिंदु $(x_1, y_1), (x_2, y_2)$ और $(x_3, y_

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$3$

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(A) माना आव्यूह $A = \begin{bmatrix} x_1 & y_1 & 1 \ x_2 & y_2 & 1 \ x_3 & y_3 & 1 \end{bmatrix}$ है।यदि बिंदु $(x_1, y_1), (x_2, y_2)$ और $(x_3, y_3)$ संरेख हैं,तो इन बिंदुओं द्वारा निर्मित त्रिभुज का क्षेत्रफल शून्य होता है।त्रिभुज का क्षेत्रफल $\Delta = \frac{1}{2} |\det(A)| = 0$ द्वारा दिया जाता है,जिसका अर्थ है कि $\det(A) = 0$ है।चूंकि $3 	imes 3$ आव्यूह का सारणिक शून्य है,इसलिए आव्यूह $A$ की कोटि $3$ से कम होनी चाहिए।इसके अलावा,यदि बिंदु संरेख हैं,तो पंक्तियाँ रैखिक रूप से आश्रित होती हैं और कोटि अधिकतम $2$ होती है।अतः,कोटि हमेशा $3$ से कम होती है।

यदि बिंदु $(x_1, y_1), (x_2, y_2)$ और $(x_3, y_3)$ संरेख (collinear) हैं,तो आव्यूह $\begin{bmatrix} x_1 & y_1 & 1 \\ x_2 & y_2 & 1 \\ x_3 & y_3 & 1 \end{bmatrix}$ की कोटि (rank) हमेशा किससे कम होगी?

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मान लीजिए $a, b \in R-\{0\}$,और $I_2$ कोटि $2$ का तत्समक आव्यूह है। तो ब्लॉक आव्यूह $\begin{bmatrix} a I_2 & b I_2 \\ a I_2 & b I_2 \end{bmatrix}$ की कोटि (rank) क्या है?

यदि $A = \begin{vmatrix} x & 1 \\ 1 & x \end{vmatrix}$ और $B = \begin{vmatrix} x & 1 & 1 \\ 1 & x & 1 \\ 1 & 1 & x \end{vmatrix}$ है,तो $\frac{dB}{dx}$ क्या है?

यदि $f(x) = \left| \begin{array}{ccc} x^3+x & x+1 & x-2 \\ 2x^3+3x-1 & 3x & 3x-3 \\ x^3+2x+3 & 2x-1 & 2x-1 \end{array} \right|$ है, तो $\frac{d}{dx}(f(x))$ का मान ज्ञात कीजिए।

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